10.4 三元一次方程组
教学目标：
1、知识与技能：
（1）了解三元一次方程组的概念．
（2）会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．
（3）掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．
2、情感态度与价值观：
通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本思
路．
教学重点：
（1）使学生会解简单的三元一次方程组．
（2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．
教学难点：
针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．
教学过程：
一、创设情景，导入新课
前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些实际问题可以设出两个未知数，列出二元
一次方程组来求解。实际上，有不少问题中会含有更多的未知数，对于这样的问题，我们将
如何来解决呢？
【引例】
足球比赛规则规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分.某足球队赛了 22 场
得 47 分，且胜的场数比负的场数的 4 倍还多 2.该球队胜、平、负各多少场？
设该球队胜 x 场、平 y 场、负 z 场，可以得到关于 x、y、z 的三个方程：
x＋y＋z=22
3x＋y=47
x=4z＋2
这个问题的解必须同时满足上面的三个条件，因此，我们把这三个方程联立在一起，可
写成小明手头有 12 张面额分别为 1 元，2 元，5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数
量是 2 元纸币数量的 4 倍，求 1 元，2 元，5 元纸币各多少张．
提出问题：1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
【列表分析】 （师生共同完成）
（三个量关系） 每张面值 × 张数 = 钱数
解：（学生叙述个人想法，教师板书）
设 1 元，2 元，5 元的张数为 x 张，y 张，z 张.
根据题意列方程组为：
【得出定义】 （师生共同总结概括）
这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有
三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
二、探究三元一次方程组的解法
【解法探究】
怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，
把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？(展开思路，畅所欲言)
1 元 x x
2 元 y 2y
5 元 z 5z
合 计 12 22
注 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍，即 x=4y
12,
2 5 22,
4 .
x y z
x y z
x y
+ + =
+ + =
=【例 1】解三元一次方程组
分析：方程②中只含 x,y,因此，可以由① ③消去 z，得到一个只含
x，y 的方程，与方程②组成一个二元一次方程组.
解： ① ＋③ ，得
3x-2y=7 ④
②与④组成方程组
解这个方程组，得
把 x＝1，y＝-2 代入① ，得 z=4
因此，这个三元一次方程组的解为
【例 2】解方程组
分析 1：发现三个方程中 x 的系数都是 1，因此确定用减法“消 x”.
解法 1：消 x
②-① 得 y+4z=10 . ④
③代人① 得 5y+z=12 . ⑤
由④、⑤得
解得
把 y=2,代入③，得 x=8.
∴ 是原方程组的解.
=
=++
=++
③
②
①
yx
zyx
zyx
4
2252
12
4 10,
5 12.
y z
y z
+ =
+ =
④
⑤
2,
2.
y
z
=
=
8,
2,
2.
x
y
z
=
=
=分析 2：方程③是关于 x 的表达式，确定“消 x”的目标.
解法 2：消 x
由③代入①②得
解得
把 y=2 代入③，得 x=8.
∴ 是原方程组的解.
【方法归纳】
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型一：有表达式，用代入法.
针对上面的例题进而分析，例 1 中方程③中缺 z,因此利用①、②消 z,可达到消元构成
二元一次方程组的目的.
解法 3：消 z
①×5 得 5x+5y+5z=60， ④
x+2y+5z=22， ②
④-②得 4x+3y =38 ⑤
由③、⑤得
解得
把 x=8,y=2 代入①，得 z=2.
∴ 是原方程组的解.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型二：缺某元，消某元.
教师提示：当然我们还可以通过消掉未知项 y 来达到将“三元”转化为“二元”目的，
5 12,
6 5 22.
y z
y z
+ =
+ =
④
⑤
2,
2.
y
z
=
=
8,
2,
2.
x
y
z
=
=
=
4 ,
4 3 38.
x y
x y
=
+ =
③
⑤
8,
2.
x
y
=
=
8,
2,
2.
x
y
z
=
=
=同学可以课下自行尝试一下.
三、课堂小结
师生共同总结
1、解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化
为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
即三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
2、解题要有策略，今天我们学到的策略是：有表达式，用代入法；缺某元，消某元.
四、布置作业
1、解方程组 你能有多少种方法求解它？
本题方法灵活多样，有利于学生广开思路进行解法探究。
2、教材 104 页练习 1（1），2；习题 10.4 1.
消元
消元
=+
=+
=+
③
②
①
21
19
20
zx
zy
yx
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