17.1 一元二次方程
知识要点基础练
知识点1 一元二次方程的概念
1.下列方程中属于一元二次方程的是(D)
A.ax2+bx+c=0 B.1x2+1=0
C.x2+2=x2-x-3 D.3(x-2)2=x-2
2.已知方程(m+2)xm-2-2x=5是关于x的一元二次方程,求m的值.
解:由题意,得m-2=2,解得m=4,
当m=4时,m+2=6≠0,∴m=4.
知识点2 一元二次方程的一般形式及有关概念
3.下列方程中,不含一次项的是(D)
A.2x2-9x=0 B.16x=7x2
C.x(x-2)=0 D.(x+5)(x-5)=0
4.一元二次方程3x2-3x=2+x化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是 3,-4,-2 .
知识点3 一元二次方程的根
5.关于x的一元二次方程x2+bx-10=0的一个根为2,则b的值为(C)
A.1 B.2
C.3 D.7
6.关于x的方程x2-px+q=0的两个根分别是1和-2,试确定p,q的值.
解:根据题意得1-p+q=0,4+2p+q=0,
解得p=-1,q=-2.
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知识点4 用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
7.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形.设矩形的一边长为x cm,则可列方程为(D)
A.x(40+x)=64 B.x(40-x)=64
C.x(20+x)=64 D.x(20-x)=64
8.某厂一月份生产某机器100台,计划三月份生产160台.设二、三月份每月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是 100(1+x)2=160 .
综合能力提升练
9.若方程(2m-1)x2+3x-m=0是关于x的一元二次方程,则m的值为(C)
A.m=12 B.m=-12
C.m≠12 D.m≠0
10.在方程①x2=-1,②1x-2x+3=0,③(x+1)(x-2)=(x-1)2,④ax2+bx+c=0中,一定是一元二次方程的有(A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.在足球进校园活动中,某市有x支球队参加足球比赛,共比赛了28场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是(A)
A.12x(x-1)=28 B.x(x-1)=28
C.12x(x+1)=28 D.x(x+1)=28
12.若关于x的一元二次方程(a-3)x2+ax+a=5x+6没有一次项,则a+2014的值为 2019 .
13.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个解,则代数式a+b+2019的值是 2018 .
14.一个长方形的长比宽大2 cm,面积为14 cm2.若设长方形的长为x cm,则可列方程为 x(x-2)=14 .
15.为表彰表现突出、成绩优秀的同学,某学校设置了奖学金奖励制度.已知去年上半年发放给每位优秀学生700元,今年上半年发放给每位优秀学生1000元.设每半年发放奖学金的平均增长率为x,则可列方程为 700(1+x)2=1000 .
【变式拓展】为执行“均衡教育”政策,某区2016年投入教育经费2500万元,预计到2018年底三年累计投入1.2亿元.若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x,则可列方程为 2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000 .
16.某学校为了改善校园环境,计划在一块长80米,宽60米的长方形场地的中央建一个长方形网球场,网球场占地面积为3500平方米,四周为宽度均为x米的人行道,请你根据题意列出方程,并将方程化成一般形式.
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解:(80-2x)(60-2x)=3500,化为一般形式即x2-70x+325=0.
17.已知2是关于x的方程x2-x+a=0的一个根,求a-2-a2a+2的值.
解:将x=2代入方程x2-x+a=0中,得2-2+a=0,
解得a=2-2.
当a=2-2时,a-2-a2a+2=a2-4a+2-a2a+2=-4a+2=-42=-22.
18.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.
(1)当m为何值时,此方程是一元一次方程?
(2)当m为何值时,此方程是一元二次方程?
解:(1)根据题意,要使此方程是一元一次方程,
则m2-1=0且m+1≠0,即m=±1且m≠-1,所以m=1,
所以当m=1时,此方程是一元一次方程.
(2)根据题意,要使此方程是一元二次方程,
则m2-1≠0,即m≠±1,
所以当m≠±1时,此方程是一元二次方程.
拓展探究突破练
19.若m是一元二次方程x2+x-1=0的一个根,求m3-2m+2019的值.
解:将x=m代入方程x2+x-1=0,得m2+m-1=0,
则m2=1-m,m2+m=1,
所以m3-2m+2019
=m·m2-2m+2019
=m·(1-m)-2m+2019
=2019-(m2+m)
=2019-1
=2018.
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