17.3 一元二次方程根的判别式
知识要点基础练
知识点1 “Δ”与一元二次方程根的情况
1.一元二次方程3x2+2x-5=0的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
2.下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是(A)
A.(x-1)2=0 B.x2+2x-19=0
C.x2+4=0 D.x2+x-1=0
3.已知关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0的根的判别式的值为1,求m的值.
解:∵Δ=[-(3m-1)]2-4×m×(2m-1)=m2-2m+1,
∴m2-2m+1=1,解得m1=0,m2=2.
又∵m≠0,∴m=2.
知识点2 一元二次方程根的判别式的应用
4.已知关于x的方程x2-4x+3k+1=0有两个相等的实数根,则k的值为(C)
A.-1 B.0
C.1 D.2
5.若关于x的一元二次方程(k-2)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k>32且k≠2 .
6.已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0.
(1)当m取何值时,方程有两个相等的实数根?
(2)请你为m选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求出这两个实数根.
解:(1)由已知得Δ=[-2(m+1)]2-4m2=0,
解得m=-12.
(2)不妨取m=1,此时方程为x2-4x+1=0,
配方得(x-2)2=3,解得x1=2+3,x2=2-3.(答案不唯一)
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综合能力提升练
7.下列一元二次方程有实数根的是(D)
A.x2+1=0 B.x2+x+1=0
C.x2-x+1=0 D.x2-x-1=0
8.(安徽中考)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(A)
A.-1 B.1
C.-2或2 D.-3或1
9.一元二次方程x2+8=42x根的情况是(B)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
10.(广东中考)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为(A)
A.m94 D.m≥94
11.若关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+2=0有实数根,则整数a的最大值为(C)
A.2 B.1
C.0 D.-1
12.若关于x的方程kx2-3x-94=0有实数根,则实数k的取值范围是(C)
A.k=0 B.k≥-1且k≠0
C.k≥-1 D.k>-1
13.若关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0无实数根,则k的取值范围为 k>54 .
14.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0无实数根,则一次函数y=(k+1)x-k的图象不经过第 三 象限.
15.关于x的一元二次方程ax2+bx+14=0有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数a,b的值:a= 4 ,b= 2(本题答案不唯一) .
16.已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m+1=0.求证:无论m为何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
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证明:∵Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m+1)=m2-2m+5=(m-1)2+4,
∴不论m为何值,(m-1)2≥0,(m-1)2+4≥4>0,该方程有两个不相等的实数根.
拓展探究突破练
17.已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求k的值.
解:(1)∵一元二次方程为x2-(2k+1)x+k2+k=0,
Δ=[-(2k+1)]2-4(k2+k)=1>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
(2)∵△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,由(1)知,AB≠AC,△ABC第三边BC的长为5,且△ABC是等腰三角形,∴必然有AB=5或AC=5,即x=5是原方程的一个解.
将x=5代入方程x2-(2k+1)x+k2+k=0,即25-5(2k+1)+k2+k=0,解得k=4或k=5.
当k=4时,原方程为x2-9x+20=0,x1=5,x2=4,以5,5,4为边长能构成等腰三角形;
当k=5时,原方程为x2-11x+30=0,x1=5,x2=6,以5,5,6为边长能构成等腰三角形.
综上,k的值为4或5.
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