第
17
章 一元二次方程
知识点
1
“
Δ
”
与一元二次方程根的情况
1
.
一元二次方程
3
x
2
+
2
x-
5
=
0
的根的情况是
(
A
)
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
没有实数根
D.
无法判断
2
.
下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是
(
A
)
A.(
x-
1 )
2
=
0 B.
x
2
+
2
x-
19
=
0
C.
x
2
+
4
=
0 D.
x
2
+x-
1
=
0
3
.
已知关于
x
的一元二次方程
mx
2
-
( 3
m-
1 )
x+
2
m-
1
=
0
的根的判别式的值为
1,
求
m
的值
.
解
:
∵
Δ=
[
-
( 3
m-
1 )]
2
-
4
×m×
( 2
m-
1 )
=m
2
-
2
m+
1,
∴
m
2
-
2
m+
1
=
1,
解得
m
1
=
0,
m
2
=
2
.
又
∵
m
≠0,
∴
m=
2
.
6
.
已知关于
x
的方程
x
2
-
2(
m+
1 )
x+m
2
=
0
.
( 1 )
当
m
取何值时
,
方程有两个相等的实数根
?
( 2 )
请你为
m
选取一个合适的整数
,
使方程有两个不相等的实数根
,
并求出这两个实数根
.
证明
:
∵
Δ=
[
-
(
m-
3 )]
2
-
4
×
1
×
(
-m+
1 )
=m
2
-
2
m+
5
=
(
m-
1 )
2
+
4,
∴
不论
m
为何值
,(
m-
1 )
2
≥
0,(
m-
1 )
2
+
4
≥
4
>
0,
该方程有两个不相等的实数根
.
17
.
已知一元二次方程
x
2
-
( 2
k+
1 )
x+k
2
+k=
0
.
( 1 )
求证
:
方程有两个不相等的实数根
;
( 2 )
若
△
ABC
的两边
AB
,
AC
的长是这个方程的两个实数根
,
第三边
BC
的长为
5
.
当
△
ABC
是等腰三角形时
,
求
k
的值
.
解
:( 1 )
∵
一元二次方程为
x
2
-
( 2
k+
1 )
x+k
2
+k=
0,
Δ=
[
-
( 2
k+
1 )]
2
-
4(
k
2
+k
)
=
1
>
0,
∴
此方程有两个不相等的实数根
.
( 2 )
∵
△
ABC
的两边
AB
,
AC
的长是这个方程的两个实数根
,
由
( 1 )
知
,
AB
≠
AC
,
△
ABC
第三边
BC
的长为
5,
且
△
ABC
是等腰三角形
,
∴
必然有
AB=
5
或
AC=
5,
即
x=
5
是原方程的一个解
.
将
x=
5
代入方程
x
2
-
( 2
k+
1 )
x+k
2
+k=
0,
即
25
-
5( 2
k+
1 )
+k
2
+k=
0,
解得
k=
4
或
k=
5
.
当
k=
4
时
,
原方程为
x
2
-
9
x+
20
=
0,
x
1
=
5,
x
2
=
4,
以
5,5,4
为边长能构成等腰三角形
;
当
k=
5
时
,
原方程为
x
2
-
11
x+
30
=
0,
x
1
=
5,
x
2
=
6,
以
5,5,6
为边长能构成等腰三角形
.
综上
,
k
的值为
4
或
5
.
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