22.4 矩形
一．选择题
1．如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使顶点 B 落在边 AD 的 E 点上，折痕 FG 交 BC 于 G．交 AB
于 F，若∠AEF=30°，则∠FGB 的度数为（ ）
（第 1 题图）
A．25° B．30° C．35° D．40°
2．如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠BOC=120°，BO=4，则矩形的边 BC 的长是
（ ）
（第 2 题图）
A．6 B．8 C．6 D．4
3．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角都相等
D．菱形的对角线互相垂直平分且平分一组对角
4．如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，连接 AM，DM．过点 D 作 DE⊥AM，垂足为 E．若
DE=DC=1，AE=2EM，则 BM 的长为（ ）
（第 4 题图）A．1 B． C． D．
5．关于特殊四边形对角线的性质，矩形具备而平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
6．矩形具有下列性质（ ）
A．对角线相互垂直
B．对角线相等
C．一条对角线平分一组对角
D．面积等于两条对角线乘积的一半
7．如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，矩形的两条边 AB、BC 的长分别为 6 和
8，那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是（ ）
（第 7 题图）
A． B． C． D．不确定
8．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，DF⊥AC于 F 点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC
的度数是（ ）
（第 8 题图）
A．30° B．45° C．50° D．55°
9．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量两条对角线是否互相平分
D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直10．如图，D，E 是△ABC 中 AB，BC 边上的点，且 DE∥AC，∠ACB 角平分线和它的外角的平
分线分别交 DE 于点 G 和 H．则下列结论错误的是（ ）
（第 10 题图）
A．若 BG∥CH，则四边形 BHCG 为矩形
B．若 BE=CE 时，四边形 BHCG 为矩形
C．若 HE=CE，则四边形 BHCG 为平行四边形
D．若 CH=3，CG=4，则 CE=2.5
11．如图，在矩形 COED 中，点 D 的坐标是（1，3），则 CE 的长是（ ）
（第 11 题图）
A．3 B． C． D．4
二．解答题
12．如图，DB∥AC，DE∥BC，DE 与 AB 交于点 F，E 是 AC 的中点．
（1）求证：F 是 AB 的中点；
（2）若要使 DBEA 是矩形，则需给△ABC 添加什么条件？并说明理由．
（第 12 题图）13．如图，在▱ABCD 中，AC=8，BD=12，点 E、F 在对角线 BD 上，点 E 从点 B 出发以 1 个单
位每秒的速度向点 D 运动，同时点 F 从点 D 出发以相同速度向点 B 运动，到端点时运动
停止，运动时间为 t 秒．
（1）求证：四边形 AECF 为平行四边形．
（2）求 t 为何值时，四边形 AECF 为矩形．
（第 13 题图）
14．如图，平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，EF⊥BD 于点 O，EF 分别交 AD，BC 于
点 E，F．且 AE=EO= DE，那么平行四边形 ABCD 是否是矩形，为什么？
（第 14 题图）
参考答案
一．1． B 2． D 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C
11．C
二．12．证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC
∴四边形 DBCE 是平行四边形
∴DB=EC，
∵E 是 AC 中点
∴AE=EC
∵AE=EC，AC∥DB
∴四边形 ADBE 是平行四边形
∴AF=BF，即 F 是 AB 中点．
（2）添加 AB=BC
∵AB=BC，AE=EC
∴BE⊥AC
∴平行四边形 DBEA 是矩形．
13．证明：在▱ABCD 中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠EBC=∠ADF，
由题意知，BE=DF，
在△BEC 与△DFC 中，
，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=AF，
同理可得 AE=CF，
∴四边形 AECF 为平行四边形；
（2）当 t=2 或 t=10 时以点 A，C，E，F 为顶点的四边形为矩形；（第 13 题答图）
理由：由矩形的性质知 OE=OF、OA=OC，要使∠EAF 是直角，只需 OE=OF=OA= AC=4cm．
则∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°
即∠EDF=90°．
此时 BE=DF= （BD﹣EF）= （12﹣8）=2cm 或 BE=DF=12﹣2=10cm
14．解：平行四边形 ABCD 是矩形．
如图所示，取 DE 的中点 G，连接 OG，
∵EF⊥BD，
∴Rt△DOE 中，OG= DE=EG=DG，
∵AE=EO= DE，
∴EO=OG=EG，
∴△OEG 是等边三角形，
∴∠AEO=∠DGO=120°，
又∵AE=DG，OE=OG，
∴△AOE≌△DOG，
∴AO=DO，
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AC=2AO=2DO=BD，
∴平行四边形 ABCD 是矩形．（第 14 题答图）
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