22.7 多边形的内角和与外角和
一．选择题
1．一个正多边形的每一个外角都等于 30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
2．如图，小林从 P 点向西直走 12 米后，向左转，转动的角度为 α，再走 12 米，如此重复，
小林共走了 108 米回到点 P，则 α﹣5 的值是（ ）
（第 2 题图）
A．35° B．40° C．50° D．不存在
3．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC 与∠BCD 的平分线的交点 E 恰好在 AD 边上，则∠BEC=
（ ）
（第 3 题图）
A．∠A+∠D﹣45° B． （∠A+∠D）+45°
C．180°﹣（∠A+∠D） D． ∠A+ ∠D
4．如图，五边形 ABCDE 中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E 的度数为（ ）
（第 4 题图）
A．180° B．270° C．360° D．450°
5．一个多边形的内角和等于 360°，它是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
6．如果某多边形的每个内角的大小都是其相邻外角的 3 倍，那么这个多边形是（ ）A．六边形 B．八边形 C．正六边形 D．正八边形
7．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）
A．460° B．540° C．900° D．1260°
8．一个正多边形的内角和为 540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
9．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）边形．
A．三 B．四 C．五 D．六
10．四边形的四个内角可以都是（ ）
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．以上答案都不对
二．11．如图，小明从点 O 出发，前进 5m 后向右转 15°，再前进 5m 后又向右转 15°，…
这样一直下去，直到他第一次回到出发点 O 为止，他所走的路径构成了一个多边形．小
明一共走了 米？这个多边形的内角和是 度？
（第 11 题图）
12．一个正多边形的每个内角等于 108°，则它的边数是 ．
13．在图中，x 的值为 ．
（第 13 题图）
14．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．
（第 14 题图15．如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形
①和②的内角都是 108°，则正多边形③的边数是 ．
（第 15 题图）
三．解答题（共 3 小题）
16．如图，五角星的顶点为 A、B、C、D、E，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数？
（第 16 题图）
17．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，连接 BD，点 E 在 BC 边上，点 F 在 DC 边上，且
∠1=∠2．
（1）求证：EF∥BD；
（2）若 DB 平分∠ABC，∠A=130°，∠C=70°，求∠CFE 的度数．
（第 17 题图）
18．解答题：（第 18 题图）
（1）如图①，△ABC 的内角∠ABC 的平分线与外角∠ACD 的平分线相交于 P 点，请探究∠P
与∠A 的关系，并说明理由．
（2）如图②③，四边形 ABCD 中，设∠A=α，∠D=β，∠P 为四边形 ABCD 的内角∠ABC 与外
角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：
①如图②，若 α+β＞180°，求∠P 的度数．（用α，β 的代数式表示）
②如图③，若 α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P= ．（用 α，β
的代数式表示）（作图 2 分，写出结果）
参考答案一．1．D 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．B 10．B
二．11． 120；3960 12．五 13． 135 14．360° 15．10
三．16．解：如答图.
由三角形的外角性质，得∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
（第 16 题答图）
17．解：（1）如答图.
（第 17 题答图）
∵AD∥BC（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠2（等量代换）．
∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：∵AD∥BC（已知），
∴∠ABC+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A=130°（已知），
∴∠ABC=50°．
∵DB 平分∠ABC（已知），
∴∠3= ∠ABC=25°．
∴∠2=∠3=25°．
∵在△CFE 中，∠CFE+∠2+∠C=180°（三角形内角和定理），∠C=70°，∴∠CFE=85°．
18．解：（1）如答图 1 中，结论：2∠P=∠A．
（第 18 题答图）
理由：∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，
∵P 点是∠ABC 和外角∠ACD 的角平分线的交点，
∴2∠PCD=∠ACD，2∠PBC=∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC，
2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC，
2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC，
∴2∠P=∠A；
（2）①如答图 2 中，
解法一：由四边形内角和定理得，∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
由三角形的外角性质得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，
∵BP、CP 分别是∠ABC 和∠DCE 的平分线，
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCE= ∠DCE，
∴∠P+∠PBC= （∠A+∠D+∠ABC﹣180°）= （∠A+∠D）+ ∠ABC﹣90°，
∴∠P= （∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A=α，∠D=β，
∴∠P= （α+β）﹣90°；
解法二：延长 BA 交 CD 的延长线于点 F．
∵∠F=180°﹣∠FAD﹣∠FDA=180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）=α+β﹣180°，
由（1）可知，∠P= ∠F，
∴∠P= （α+β）﹣90°；
②如图 3，延长 AB 交 DC 的延长线于 F．
∵∠F=180°﹣α﹣β，∠P= ∠F，
∴∠P= （180°﹣α﹣β）=90°﹣ α﹣ β
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