22.6 正方形
一．选择题（共 5 小题）
1．如图，在正方形 ABCD 中，A、B、C 三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），
将正方形 ABCD 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（ ）
（第 1 题图）
A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2）
2．关于▱ABCD 的叙述，正确的是（ ）
A．若 AB⊥BC，则▱ABCD 是菱形
B．若 AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形
C．若 AC=BD，则▱ABCD 是矩形
D．若 AB=AD，则▱ABCD 是正方形
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．相等的角是对顶角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
4．如图，边长分别为 4 和 8 的两个正方形 ABCD 和 CEFG 并排放在一起，连结 BD 并延长交 EG
于点 T，交 FG 于点 P，则 GT=（ ）
（第 4 题图）A． B．2 C．2 D．1
5．如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S2，
则 S1+S2 的值为（ ）
（第 5 题图）
A．16 B．17 C．18 D．19
二．填空题（共 3 小题）
6．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 A 与原点重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x 轴
的负半轴上，将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°至正方形 AB'C′D′的位置，B'C′
与 CD 相交于点 M，则点 M 的坐标为 ．
（第 6 题图）
7．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，要使四边形 ABCD 是正方形，还需
添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且 AB=AD；②AB=BD，且 AB⊥BD；
③OB=OC，且 OB⊥OC；④AB=AD，且 AC=BD．其中正确的序号是 ．
8．如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上，
下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S 正方形 ABCD=2+ ．
其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）． （第 8 题图）
三．解答题（共 4 小题）
9．已知点 E 为正方形 ABCD 的边 AD 上一点，连接 BE，过点 C 作 CN⊥BE，垂足为 M，交 AB
于点 N．
（1）求证：△ABE≌△BCN；
（2）若 N 为 AB 的中点，求 tan∠ABE．
（第 9 题图）
10．如图，在正方形 ABCD 中，AF=BE，AE 与 DF 相交于点 O．
（1）求证：△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD 的度数．
（第 10 题图）11．如图，等边△AEF 的顶点 E，F 在矩形 ABCD 的边 BC，CD 上，且∠CEF=45°．求证：矩
形 ABCD 是正方形．
（第 11 题图）
12．如图，E 是正方形 ABCD 对角线 BD 上的一点，求证：AE=CE．
（第 12 题图）参考答案
一．1． B 2．C 3．D 4．B 5．B
二．6．（﹣1， ） 7．①③④ 8．①②④
三．9．（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形
∴AB=BC，∠A=∠CBN=90°，∠1+∠2=90°
∵CM⊥BE，
∴∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
在△ABE 和△BCN 中
∴△ABE≌△BCN（ASA）；
（2）∵N 为 AB 中点，
∴BN= AB
又∵△ABE≌△BCN，
∴AE=BN= AB
在 Rt△ABE 中，tan∠ABE═ ．
10．（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，
在△DAF 和△ABE 中， ，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，
∴∠ADF=∠BAE，
∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，
∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．
11．解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°，
∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，
∵∠CEF=45°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFD=∠AEB=180°﹣45°﹣60°=75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB=AD，
∴矩形 ABCD 是正方形．
12．证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=CB，∠ABE=∠CBE，
在△ABE 和△CBE 中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE．
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