22.3 三角形的中位线
一．选择题
1．如图，△ABC 的周长为 19，点 D，E 在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 N，∠ACB
的平分线垂直于 AD，垂足为 M，若 BC=7，则 MN 的长度为（ ）
（第 1 题图）
A． B．2 C． D．3
2．如图，在△ABC 中，AB=AC，E，F 分别是 BC，AC 的中点，以 AC 为斜边作 Rt△ADC，若
∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（ ）
（第 2 题图）
A．∠ECD=112.5° B．DE 平分∠FDC
C．∠DEC=30° D．AB= CD
3．如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是 6，则△ABC 的周
长是（ ）
（第 3 题图）
A．6 B．12 C．18 D．24
4．在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F 分别为 AB、BC、AC 中点，连接 DF、FE，则四
边形 DBEF 的周长是（ ）（第 4 题图）
A．5 B．7 C．9 D．11
二．填空题
5 ． 如 图 ， 已 知 在 △ABC 中 ， D 、 E 分 别 是 AB 、 AC 的 中 点 ， BC=6cm ， 则 DE 的 长 度 是
cm．
（第 5 题图）
6．如图：在△ABC 中，AB=13，BC=12，点 D，E 分别是 AB，BC 的中点，连接 DE，CD，如果
DE=2.5，那么△ACD 的周长是 ．
（第 6 题图）
7．如图，在△ABC 中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边 AB 的中点，E 是边 BC 上一点．若 DE 平
分△ABC 的周长，则 DE 的长是 ．
（第 7 题图）
8．在△ABC 中，点 E，F 分别是边 AB，AC 的中点，点 D 在 BC 边上，连接 DE，DF，EF，请你
添加一个条件 ，使△BED 与△FDE 全等．（第 8 题图）
9．如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 的中点，E、F 分别是 AB、CD 的中点，AD=BC，
∠FPE=100°，则∠PFE 的度数是 ．
（第 9 题图）
10．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E 分别为 AC、AB 的中点，连接 DE，则
△ADE 的面积是 ．
（第 10 题图）
三．解答题（共 12 小题）
11．如图，已知△ABC 中，D 为 AB 的中点．
（1）请用尺规作图法作边 AC 的中点 E，并连接 DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若 DE=4，求 BC 的长．
（第 11 题图）12．如图，已知△ABC，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，BC 的中点为 M，ME∥AD，交 BA 的延长
线于点 E，交 AC 于点 F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：BE= （AB+AC）．
（第 12 题图）
13．如图，M 是△ABC 的边 BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN 于点 N，延长 BN 交 AC 于点 D，
已知 AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC 的周长．
（第 13 题图）14．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°
（1）求作：△ABC 的一条中位线，与 AB 交于 D 点，与 BC 交于 E 点，（保留作图痕迹，不写
作法）
（2）若 AC=6，AB=10，连接 CD，则 DE= ，CD= ．
（第 14 题图）
15．观察探究，完成证明和填空．
如图，四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点，顺次连接 E、F、
G、H，得到的四边形 EFGH 叫中点四边形．
（1）求证：四边形 EFGH 是平行四边形；
（2）如图，当四边形 ABCD 变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
（第 15 题图）
当四边形 ABCD 变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形 ABCD 变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形 ABCD 变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形 ABCD 变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？16．在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D 为 AC 的中点．
（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 DF，连
接 CF，过点 F 作 FH⊥FC，交直线 AB 于点 H．判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明；
（2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中
得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
（第 16 题图）参考答案
一．1． C 2． C 3．B 4．B
二．5． 3 6．18 7． 8．D 是 BC 的中点 9．40° 10．6
三．11．解：（1）作线段 AC 的垂直平分线 MN 交 AC 于 E，点 E 就是所求的点．
（第 11 题答图）
（2）∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC，DE= BC，
∵DE=4，
∴BC=8．
12．证明：（1）∵DA 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD∥EM，
∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
（2）作 CG∥EM，交 BA 的延长线于 G．
∵EF∥CG，
∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，
∵∠AEF=∠AFE，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵EM∥CG，
∴ = ，∵BM=CM，
∴BE=EG，
∴BE= BG= （BA+AG）= （AB+AC）．（第 12 题答图）
13．（1）证明：∵AN 平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵BN⊥AN
∴∠ANB=∠AND=90°
在△ABN 和△ADN 中，
∵ ，
∴△ABN≌△ADN（ASA），
∴BN=DN．
（2）解：∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=10，
又∵点 M 是 BC 中点，
∴MN 是△BDC 的中位线，
∴CD=2MN=6，
故△ABC 的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
14．解：（1）如答图．
（第 14 题答图）（2）∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE= AC，
∵AC=6，
∴DE=3，
∵AB=10，CD 是 Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，
∴CD=5.
15．（1）证明：连接 BD，如答图.
∵E、H 分别是 AB、AD 的中点，
∴EH 是△ABD 的中位线．
∴EH= BD，EH∥BD．
同理得 FG= BD，FG∥BD．
∴EH=FG，EH∥FG．
∴四边形 EFGH 是平行四边形．
（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；
（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
（第 15 题答图）
16．解：（1）FH 与 FC 的数量关系是 FH=FC．
证明如下：延长 DF 交 AB 于点 G.
由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵点 D 为 AC 的中点，
∴点 G 为 AB 的中点，且 ，
∴DG 为△ABC 的中位线，∴ ．
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC﹣DE=DG﹣DF，
即 EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF 与△ADG 都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH．
（2）FH 与 FC 仍然相等．
理由：由题意可得出：DF=DE，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA=∠FGB=45°，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵点 D 为 AC 的中点，DF∥BC，
∴DG= BC，DC= AC，
∴DG=DC，
∴EC=GF，
∵∠DFC=∠FCB，
∴∠GFH=∠FCE，
在△FCE 和△HFG 中，
∴△FCE≌△HFG（ASA），
∴HF=FC．
（第 16 题答图）
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