9.3 用正多边形铺设地面
一．选择题（共 10 小题）
1．六盘水市“琼都大剧院”即将完工，现需选用同一批地砖进行装修，以下不能镶嵌的地板是（ ）
A． 正五边形地砖 B．正三角形地砖 C．正六边形地砖 D．正四边形地砖
2．下列图形中，不能镶嵌成平面图案的（ ）
A． 正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
3．在正三角系，正方形，正五边形，正六边形这几个图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图
形是（ ）
A． 正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
4．若用同一种正多边形瓷砖铺地面，不能密铺地面的正多边形是（ ）
A． 正八边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三边形
5．只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ）
A． 正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形
6．用下列一种多边形不能铺满地面的是（ ）
A． 正方形 B．正十边形 C．正六边形 D．等边三角形
7．下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A． 正三角形 B．正六边形 C．正方形 D．正五边形
8．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A． 正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
9．现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正四边形，则可以再选择的正多边形是（ ）
A． 正七边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
10．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ ）
A． 正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
二．填空题（共 7 小题）
11．在一个边长为 10m 的正六边形地面，用边长为 50cm 的正三角形瓷砖铺满，则需这样的瓷砖 ____
块．
12．按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有
_________ （写出所有正确答案的序号）．13．幼儿园的小朋友打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑料胶板铺地面．为了保证铺地时既无缝隙，
又不重叠，请你告诉他们可以选择哪些形状的塑料胶板 _________ （填三种）．
14．现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形的地砖，要求至少用两种不同的地砖作平面镶嵌（两种
地砖的不同拼法视作为同一种组合），则共有组合方案 _________ 种．
15．为了让居民有更多休闲和娱乐的地方，江宁区政府又新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备
选用同一种正多边形地砖进行铺设．现有下面几种形状的正多边形地砖：正三角形、正方形、正五边形、
正六边形，其中不能进行平面镶嵌的有 _________ ．
16．与正三角形组合在一起能铺满地面的另一种正多边形是 _________ ．（只要求写出一种即可）
17．用 4 个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正
方形，如图 1，用 n 个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图 2，若围成一圈后中间形成一个正多边
形，则 n 的值为 _________ ．
三．解答题（共 4 小题）
18．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，第 1 次铺 2 块如图①；第 2 次把第 1 次铺的完全围起来，
如图②，此时共使用木板 12 块；第 3 次把第 2 次铺的完全围起来，如图③：
（1）依此方法，第 4 次铺完后，共使用的木板数为 _________ ．（2）依此方法，第 10 次铺完后，共使用的木板数为 _________ ．
（3）依此方法，第 n 次铺完后，共使用的木板数为 _________ ．
19．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网
格中给出不同于图（a）的铺法．
20．试说明：用 15 块大小是 4×1 的矩形地砖和一块大小是 2×2 的正方形地砖能不能恰好铺盖一块大小
是 8×8 的正方形地面．
21．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．
（1）则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？（两种图形都要用上）
（2）请画出你的镶嵌图．参考答案与试题解析
1-5 ACCAC 6-10 BDCDD
11．解：把正六边形分成 6 个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为 10m，高为 5 m，
∴正六边形的面积为 6× ×10×5 =150 m2，
同理可得边长为 50cm 的正三角形的面积为 × × = m2，
∴150 ÷ =2400．
故答案为：2400．
12．解：根据一种图形平面镶嵌的条件，即能整除 360°的多边形，而且只通过平移就能进行平面镶嵌，
∴①正三角形虽然能平面镶嵌但是需通过旋转得出，故此选项错误；
②正方形，每个内角等于 90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；
③矩形，每个内角等于 90°，通过平移就能进行平面镶嵌，故此选项正确；
④正五边形，每个内角等于 108°，不能平面镶嵌，故此选项错误．
故答案为：②③．
13．解：几何图形镶嵌成平面的条件可知：能够保证铺地时既无缝隙，又不重叠，可以选择的塑料胶板有
正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形．
故答案为：正三角形、正方形、长方形、正六边形、直角三角形、直角梯形（写出其它图形，只要符合题
目要求，均可得分）
14．解：①因为正三角形的每个内角是 60°，正方形的每个内角是 90°，∵3×60°+2×90°=360°，所
以能铺满；
②正三角形每个内角 60 度，正六边形每个内角 120 度，2×60+2×120=360 度，所以能铺满；
③正方形每个内角 90 度，正六边形每个内角 120 度，不能拼成 360 度，所以不能铺满；
④因为 60+90+90+120=360 度，所以一个正三角形、2 个正方形、一个正六边形也能进行镶嵌．
故共有组合方案 3 种．
故答案为：3．
15．解：正三角形的每个内角是 60°，能整除 360°，能密铺；
正方形的每个内角是 90°，4 个能密铺；
正五边形每个内角是 180°﹣360°÷5=108°，不能整除 360°，不能密铺；
正六边形的每个内角是 120°，能整除 360°，能密铺．故答案为：正五边形．
16．解：可以选正方形，
正三角形的每个内角是 60°，正方形的每个内角是 90°，
∵3×60°+2×90°=360°，
∴正方形和正三角形能铺满地面，
故答案为：正方形．
17．解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为 240°，
故如果要密铺，则需要一个内角为 120°的正多边形，
而正六边形的内角为 120°，
故答案为：6．
18．解：（1）第 4 次铺完后，共使用的木板数为 7×8=56；
（2）第 10 次铺完后，共使用的木板数为 19×20=380；
（3）第 n 次铺完后，共使用的木板数为 2n（2n﹣1）=4n2﹣2n．
19．
解：
20．解：如图，在大小是 8×8 的正方形地面上画出 64 个小方格，并按如图所示的方法涂上黑，白两种颜
色，黑，白小方格各有 32 个，每一横行或每一纵行都分别有 4 个黑方格和 4 个白方格，用一块大小是 4×1
的矩形地砖无论铺在横行，还是纵行上，总是盖住 2 个黑方格和 2 个白方格，铺下 15 块后，共能盖住 30
个黑方格和 30 个白方格，
地面上，一定剩下 2 个黑方格和 2 个白方格必须用 2×2 的正方形地砖，但从图中可以发现，2×2 的正方
形地砖无论铺在地面上的什么位置，都不能盖住 2 个黑方格和 2 个白方格，盖住的方格是 3 黑 1 白或 1 黑
3 白，因此不能恰好铺盖成功．21．解：（1）正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，
∵3×60+2×90=360°，那么 3 个正三角形和 2 个正方形可作平面镶嵌；
（2）如图所示：
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