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第26讲 图形的平移与旋转
(时间35分钟 满分100分)
A卷
一、选择题(每小题3分，共21分)
1．(2018·原创)已知点A(－1，0)和点B(1，2)，将线段AB平移至A′B′，点A′与点A对应，若点A′的坐标为(1，－3)，则点B′的坐标为( C )
A．(3，0) B．(3，－3)
C．(3，－1) D．(－1，3)
2．(2016·呼和浩特)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是( B )
A．96 B．69 C．66 D．99
3．(2017·孝感)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，)，以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为( D )
A．(0，－2) B．(1，－)
C．(2，0) D．(，－1)
,第3题图) ,第4题图)
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12 cm，点D在AC上，DC＝4 cm，将线段DC沿CB方向平移7 cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长是( C )
A．7 cm B．11 cm C．13 cm D．16 cm
5．(2017·天津)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是( C )
A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C
C．AD∥BC D．AD＝BC
,第5题图) ,第6题图)
6．(2017·东营)如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是( D )
A. B.
C. D.－
(导学号 58824200)
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7．(2017·贵港)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是( B )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(每小题3分，共12分)
8．(2017·宜宾)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是_60°_.
,第8题图) ,第9题图)
9．(2017·百色)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为(2，0)，将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，则点C的对应点坐标为_(1，3)_．
(导学号 58824201)
10．(2017·黄冈)已知：如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm.将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D＝_1.5_cm.
(导学号 58824202)
,第10题图) ,第11题图)
11．如图，已知三角形ABC的面积为12，将三角形ABC沿BC平移到三角形A′B′C′，使B′和C重合，连接AC′交A′C于点D，D是A′C的中点，则三角形C′DC的面积为_6_.
三、解答题(本大题4小题，共40分)
12．(10分)(2017·金华)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4)．
(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
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(2)作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部(不包括顶点和边界)，求a的取值范围．
解：(1)如解图，△A1B1C1即为所求；
(2)∵点A′坐标为(－2，2)，∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位，最多平移6个单位，即4＜a＜6.
13．(10分)(2017·枣庄)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4)．
(1)请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
(导学号 58824203)
解：(1)如解图所示：△A1B1C1即为所求；
(2)如解图所示，△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2＝∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A(2，2)，C(4，－4)，B(4，0)，易得D(4，2)，故AD＝2，CD＝6，AC＝＝2，
∴sin∠ACB＝＝＝，即sin∠A2C2B2＝.
14．(10分)(2017·徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3，将线段AC绕点A
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按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.
(1)线段DC＝_4_；
(2)求线段DB的长度．
解：
(2)如解图，作DE⊥BC于点E.
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
又∵AC⊥BC，
∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，
∴在Rt△CDE中，DE＝DC＝2，CE＝DC·cos30°＝4×＝2，
∴BE＝BC－CE＝3－2＝，
∴在Rt△BDE中，BD＝＝＝.
15．(10分)(2017·襄阳)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC，BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.
(1)如图①，若CE＝CF，求证：DE＝DF；
(2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中：
①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；
②若CE＝4，CF＝2，求DN的长．
(1)证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝BD，
∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，
∴∠DCE＝∠DCF＝135°，
在△DCE与△DCF中，
∴△DCE≌△DCF，∴DE＝DF；
(2)解：①∵∠DCF＝∠DCE＝135°，
∴∠CDF＋∠F＝180°－135°＝45°，
∵∠CDF＋∠CDE＝45°，
∴∠F＝∠CDE，∴△CDF∽△CED，
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∴＝，即CD2＝CE·CF，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝BD，
∴CD＝AB，∴AB2＝4CE·CF；
②如解图，过D作DG⊥BC于点G，
则∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，
当CE＝4，CF＝2时，由CD2＝CE·CF得CD＝2，∴在Rt△DCG中，CG＝DG＝CD·sin∠DCG＝2×sin45°＝2，
∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，
∴△CEN∽△GDN，∴＝＝2，∴GN＝CG＝，
∴DN＝＝＝.
B卷
1．(3分)(2017·苏州)如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B′C′交CD边于点G.连接BB′，CC′.若AD＝7，CG＝4，AB′＝B′G，则＝__(结果保留根号)．
,第1题图) ,第2题图)
2．(3分)(2017·毕节改编)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，则下列结论：①△AEE′是等腰直角三角形；②AF垂直平分EE′；③△E′EC∽△AFD；④△AE′F是等腰三角形，其中正确的是_①②③_.(填写对应序号)
3．(10分)(2017·黔南州)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC.(顶点是网格线的交点)
(1)先将△ABC竖直向上平移5个单位，再水平向右平移4个单位得到△A1B1C1，
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请画出△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得到△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
(3)求线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积．
解：(1)如解图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如解图所示，△A2B1C2即为所求；
(3)线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：＝π.
4．(11分)(2017·七台河)已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°.连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH.
(1)如图①所示，易证：OH＝AD且OH⊥AD；(不需证明)
(2)将△COD绕点O旋转到图②，图③所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．
(导学号 58824204)
解：(2)①结论：OH＝AD，OH⊥AD，如解图①，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，
图①
图②
易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD，
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∴OH＝OE＝AD，
由△BEO≌△ODA知∠EOB＝∠DAO，
∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°，∴OH⊥AD.
②如解图②，结论不变．延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，延长EO交AD于G.
易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD，
∴OH＝OE＝AD，由△BEO≌△ODA，
知∠EOB＝∠DAO，
∴∠DAO＋∠AOG＝∠EOB＋∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝90°，∴OH⊥AD.
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