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第14讲 三角形及其性质
(时间40分钟 满分80分)
A卷
一、选择题(每小题3分，共21分)
1．(2017·金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( C )
A．2，3，4 B．5，7，7
C．5，6，12 D．6，8，10
2．(2017·长沙)一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．(2017·滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( B )
A．40° B．36° C．30° D．25°
第3题图
第4题图
4．(2017·毕节)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为( A )
A. 6 B. 4 C. 7 D. 12
5．(2017·大庆)如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC＝90°，∠BCD＝60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为( B )
A．30° B．15° C．45° D．25°
(导学号 58824150)
第5题图
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第6题图
6．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( A )
A．3 B．6 C．3 D.
7．(2016·内江)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( B )
A. B. C. D．不能确定
二、填空题(每小题3分，共21分)
8．(2017·成都)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为_40°_.
9．(2017·青岛)
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为_32_度．
10．(2017·宁夏)在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝DM.当AM⊥BM时，则BC的长为_8_.(导学号 58824151)
第10题图
第11题图
11．(2017·铁岭模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝18，
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点E在AC上且CE＝AC，连接BE，与AD相交于点F.若BE＝15，则△DBF的周长是_24_.
12．(2017·淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝_2_.
13．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为6，△BCF的面积为9，△CEF的面积为6，则四边形ADFE的面积为_24_.
第13题图
第14题图
14．(2017·七台河)如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为_4或4或4_.
三、解答题(本大题2小题，共20分)
15. (10分)如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足.
(1)求证：DC＝BE；
(2)若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数．
(1)证明：∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE＝DC，
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
∴DE＝BE＝AB，
∴DC＝BE；
(2)解：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠EDB＝∠DEC＋∠BCE＝2∠BCE，
∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，
∴∠B＝2∠BCE，
∴∠AEC＝3∠BCE＝66°，
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∴∠BCE＝22°.
16．(10分)(2017·绍兴)已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝_20_°，β＝_10_°；
②求α，β之间的关系式；
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，说明理由．
解：(1)①∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝40°，
∴α＝∠BAD＝60°－40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD＋∠ABD＝60°＋20°＝80°，
∴β＝∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝10°；
图①
图②
②设∠ABC＝x，∠AED＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△DEC中，y＝β＋x，
在△ABD中，α＋x＝y＋β＝β＋x＋β，
∴α＝2β；
(2)①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如解图①，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△ABD中，x＋α＝β－y，
在△DEC中，x＋y＋β＝180°，∴α＝2β－180°，
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②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如解图②，同①的方法可得α＝180°－2β.
B卷
1．(3分)(2017·黄石)如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝，则∠CDE＋∠ACD＝( C )
A．60° B．75° C．90° D．105°
第1题图
第2题图
2．(3分)(2017·绵阳)如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为( D )
A. B. C. D.
3．(3分)(2017·鄂州)如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°.若CD＝4，则△ABE的面积为( D )
A. B. C. D.
第3题图
第4题图
4．(3分)(2017·营口模拟)如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC＝_45_°.
(导学号 58824152)
5．(3分)(2017·泸州)在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O.若OD＝2 cm，OE＝4 cm，则线段AO的长度为_4_.
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6．(3分)如图，线段AB＝2，C是AB上一动点，以AC、BC为边在AB同侧作正△ACE、正△BCF，连接EF，点P为EF的中点．当点C从A运动到B时，P点运动路径长为_1_.
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