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第19讲 矩形、菱形和正方形
(时间45分钟 满分120分)
A卷
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．(2017·上海)已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
2．(2017·聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( D )
A．AB＝AC B．AD＝BD
C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
第2题图
第3题图
3．(2017·河南)我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为( D )
A．(，1) B．(2，1)
C．(1，) D．(2，)
(导学号 58824172)
4．(2017·绵阳)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点，若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为( A )
A．1 B．2 C. D.
第4题图
第5题图
5．(2017·长沙)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，
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则这个菱形的周长为( D )
A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm
6．(2017·株洲)如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为( C )
A．一定不是平行四边形
B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形
D．当AC＝BD时，它是矩形
第6题图
第7题图
7．(2017·常州)如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( A )
A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)
8．(2017·呼和浩特)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE＝，∠EAF＝135°，则以下结论正确的是( C )
A．DE＝1
B．tan∠AFO＝
C．AF＝
D．四边形AFCE的面积为
二、填空题(每小题3分，共18分)
9．(2017·十堰)如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝_20°_.
第9题图
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第10题图
10．(2016·成都)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为_3_.
(导学号 58824173)
11．(2017·哈尔滨)四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，则CE的长为_4或2_.
12．(2016·广东)如图，矩形ABCD中，对角线AC＝2，E为BC边上一点，BC＝3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB＝__.
13．(2017·怀化)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为_10－10_cm.
第13题图
第14题图
14．如图，△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动(点E不与点A，C重合)，且保持AE＝CF，连接DE，DF，EF.在此运动变化过程中，有下列结论：
①DE＝DF；②∠EDF＝90°；③四边形CEDF不可能为正方形；④四边形CEDF的面积保持不变．
一定成立的结论有_①②④_.(把你认为正确的序号都填上)
三、解答题(本大题4小题，共45分)
15．(11分)(2017·张家界)如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.
(1)求证：△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
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(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BFG，
∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG，
在△AGE和△BGF中，
∴△AGE≌△BGF(AAS)；
(2)解：四边形AFBE是菱形，理由如下：
∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF，
∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，
又∵EF⊥AB，
∴四边形AFBE是菱形．
16．(11分)(2017·南宁)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
(导学号 58824174)
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∵BE＝DF，∴OE＝OF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)，∴AE＝CF；
(2)解：∵∠AOB＝∠COD＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝6，
∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC＝＝6.
∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝6×6＝36.
17．(11分)(2017·北京)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.
(1)求证：四边形BCDE为菱形；
(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
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(1)证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，
∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE是菱形；
(2)解：如解图，连接AC.
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝1，
∵AD＝2BC＝2，∴sin∠ADB＝，∴∠ADB＝30°，
∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，
∵AD＝2，
∴CD＝1，AC＝.
18．(12分)(2017·玉林)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
(1)证明：连接CD，如解图①所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∵∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，∴四边形EDFG是正方形；
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图①
图②
(2)解：过点D作DE′⊥AC于E′，如解图②所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′＝BC＝2，AB＝4，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2(点E与点E′重合时取等号)．
∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8，
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.
B卷
1．(3分)(2017·黔东南州)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为( A )
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
第1题图
第2题图
2．(3分)(2017·苏州)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点，过点F作FE⊥AD，垂足为E，将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′，设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为( A )
A．28 B．24 C．32 D．32－8
3．(3分)(2017·枣庄)
在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线
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EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝_6＋3_.(结果保留根号)(导学号 58824175)
4．(12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5 cm，BC＝9 cm，M是CD的中点，P是BC边上的一动点(点P与点B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于点Q.
(1)求证：△PCM≌△QDM；
(2)当点P在点B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠QDM＝∠PCM，
∵M是CD的中点，∴DM＝CM，
∵∠DMQ＝∠CMP，在△PCM和△QDM中
∴△PCM≌△QDM(ASA)；
(2)解：当PC＝2时，四边形ABPQ是平行四边形．
5．(12分)(2017·德州)如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF.
(1)求证：四边形BFEP为菱形；
(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时(如图②)，求菱形BFEP的边长；
②若限定点P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5 cm，CD＝AB＝3 cm，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5 cm，
在Rt△CDE中，DE＝＝4 cm，∴AE＝AD－DE＝5－4＝1 cm；
在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3－PB＝3－PE，
∴EP2＝12＋(3－EP)2，解得：EP＝ cm，
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∴菱形BFEP的边长为 cm；
图①
图②
②当点Q与点C重合时，如解图①：
点E离点A最近，由①知，此时AE＝1 cm；
当点P与点A重合时，如解图②所示，
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3 cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2 cm.
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