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第17讲 解直角三角形及其应用
(时间45分钟 满分120分)
A卷
一、选择题(每小题3分，共21分)
1．(2017·天津)cos 60°的值等于( D )
A. B．1 C. D.
2．(2017·金华)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan A的值是( A )
A. B. C. D.
3．(2016·怀化)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6 cm，则BC的长度为( C )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
4．(2017·滨州)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为( A )
A．2＋ B．2 C．3＋ D．3
(导学号 58824159)
5．(2017·绥化)某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( A )
A．3.5sin 29° 米 B．3.5cos 29° 米
C．3.5tan 29° 米 D. 米
第5题图
第6题图
6．(2017·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是( C )
A．sinα ＝cosα B．tanC＝2
C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
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(导学号 58824160)
7．(2017·重庆B)如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)( A )
A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
二、填空题(每小题3分，共12分)
8．(2017·广州)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝，则AB＝_17_.
9．(2017·烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin ＝__.
10．(2017·山西)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为_15.3_米．(结果保留一位小数．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)
第10题图
第11题图
11．(2017·苏州)如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到A、B所用时间相等，则＝__(结果保留根号)．
三、解答题(本大题4小题，共46分)
12．(11分)(2017·张家界)位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，求像体AD的高度(最后结果精确到0.1米，
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参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824)
解：∵在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3 m，
∴BC＝2.3 m，
∵在Rt△ABC中，
∠ABC＝70.5°，
∴tan70.5°＝＝≈2.824，
解得：AD≈4.2.
答：像体AD的高度约为4.2 m.
13．(11分)(2017·黄冈)在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示)，已知标语牌的高AB＝5 m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
(导学号 58824161)
解：如解图，作FH⊥AE于H.由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，
∴AH＝HF，设AH＝HF＝x，则EF＝2x，EH＝x，
在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5 m，
∴AE＝2AB＝10 m，
∴x＋x＝10，
∴x＝5－5，
∴EF＝2x＝10－10≈7.3 m，
答：点E与点F之间的距离为7.3 m.
14．(12分)(2017·陕西)某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这段距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，
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计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米)．(参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452)
解：如解图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，
设AN＝x米，则BD＝CE＝x米，
在Rt△MBD中，MD＝x·tan23°，
在Rt△MCE中，ME＝x·tan24°，
∵ME－MD＝DE＝BC，
∴x·tan24°－x·tan23°＝1.7－1，
∴x＝，解得x≈34(米)．
答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米．
15．(12分)(2017·天津)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航
行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长．(结果取整数)(参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414)
(导学号 58824162)
解：如解图，作PC⊥AB于点C.
由题意得∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120，
在Rt△APC中，sinA＝，cosA＝，
∴PC＝PA·sinA＝120·sin64°，
AC＝PA·cosA＝120·cos64°.
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在Rt△PCB中，∵∠B＝45°，∴PC＝BC，
∴PB＝＝≈153，
∴AB＝AC＋BC＝120·cos64°＋120·sin64°≈120×0.90＋120×0.44≈161.
答：BP的长约为153海里，BA的长约为161海里．
B卷
1．(3分)(2015·牡丹江)在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为( D )
A．7 B．8
C．8或17 D．7或17
2．(3分)(2017·龙东地区)△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是_21或15_.
3．(3分)(2017·无锡)在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于_3_.
4．(10分)(2017·黔东南州)如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动
多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24)
解：假设点D移到D′的位置时，恰好α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD＝12米，∠DCE＝60°，
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∴DE＝CD·sin60°＝12×＝6 米，
CE＝CD·cos60°＝12×＝6米．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥D′E′，
∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE＝D′E′＝6米．
∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝≈≈12.8，
∴EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8≈7米．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
5．(11分)(2017·乌鲁木齐)一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37°方
向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援艇的航行速度．(sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.732，结果取整数)(导学号 58824163)
解：作辅助线如解图所示，
BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，
由题意知，∠FAB＝60°，∠CBE＝37°，
∴∠BAD＝30°，
∵AB＝20海里，∴BD＝10海里．
在Rt△ABD中，AD＝＝10≈17.32海里，
在Rt△BCE中，sin37°＝，
∴CE＝BC·sin37°≈0.6×10＝6海里，
∵cos37°＝，
∴EB＝BC·cos37°≈0.8×10＝8海里，EF＝AD＝17.32海里．
∴FC＝EF－CE＝11.32海里，AF＝ED＝EB＋BD＝18海里，
在Rt△AFC中，AC＝＝≈21.26海里，
21．26×3≈64海里/小时．
答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．
6．(11分)(2017·遵义)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)，建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)，
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无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′.
(1)求主桥AB的长度；
(2)若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．
(长度均精确到1 m，参考数据：≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)
解：(1)由题意知∠ABP＝30°，AP＝97，
∴AB＝＝＝＝97≈168 m.
答：主桥AB的长度约为168 m；
(2)∵∠ABP＝30°，AP＝97，
∴PB＝2PA＝194，
又∵∠DBC＝∠DBA＝90°，∠PBA＝30°，
∴∠DBP＝∠DPB＝60°，
∴△PBD是等边三角形，∴DB＝PB＝194，
在Rt△BCD中，∵∠C＝80°36′，
∴BC＝＝≈32.
答：引桥BC的长约为32 m.
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