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第12讲 二次函数的图象与性质
(时间60分钟 满分110分)
A卷
一、选择题(每小题3分，共21分)
1．(2017·长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4顶点坐标是( A )
A．(3，4) B．(－3，4)
C．(3，－4) D．(2，4)
2．(2017·陕西)已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为( C )
A．(1，－5) B．(3，－13)
C．(2，－8) D．(4，－20)
3．(2017·玉林)对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( D )
A．开口向下 B．对称轴是x＝m
C．最大值为0 D．与y轴不相交
4．(2017·连云港)已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)、B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( C )
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
5．(2017·乐山)已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，则m的值是( D )
A. B.
C.或 D．－或
6．(2016·毕节)一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( D )
7．(2017·烟台)
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①ab＜0；
②b2＞4ac；
③a＋b＋2c＜0；
④3a＋c＜0.
其中正确的是( C )
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A．①④ B．②④
C．①②③ D．①②③④
二、填空题(每小题3分，共21分)
8．(2017·上海)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是_y＝2x2－1_.(只需写一个)
9．(2017·兰州)如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则Q点的坐标为_(－2，0)_．
第9题图
第10题图
10．(2017·牡丹江)若将图中的抛物线y＝x2－2x＋c向上平移，使它经过点(2，0)，则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是_0＜x＜2_.
11．某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为_40_元．
12．(2017·武汉)已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0)．若2＜m＜3，则a的取值范围是_＜a＜或－3＜a＜－2_.
13．(2017·咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是_x＜－1或x＞4_.
第13题图
第14题图
14．(2017·贺州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a＋b＜0；③b2－4ac＝0；④8a＋c＜0；⑤a∶b∶c＝－1∶2∶3，其中正确的结论有_①④⑤_.
(导学号 58824141)
三、解答题(本大题3小题，共31分)
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15．(10分)(2017·达州)宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝
(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？
(2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？
解：(1)根据题意，若7.5x＝70，得：x＝＞4，不符合题意；∴5x＋10＝70，解得：x＝12.
答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；
(2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P＝40，
当4＜x≤14时，设P＝kx＋b，
已知(4，40)、(14，50)，
∴P＝x＋36；
①当0≤x≤4时，W＝(60－40)·7.5x＝150x，
∵W随x的增大而增大，
∴当x＝4时，W最大＝600元；
②当4＜x≤14时，W＝(60－x－36)(5x＋10)＝－5x2＋110x＋240＝－5(x－11)2＋845，
∴当x＝11时，W最大＝845，
∵845＞600，∴当x＝11时，W取得最大值845元．
答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．
16．(10分)(2017·本溪模拟)我市是世界有机蔬菜基地，数10种蔬菜在国际市场上颇具竞争力．某种有机蔬菜上市时，某经销商按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克某种蔬菜存放入冷库中．据预测，该种蔬菜的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批蔬菜时每天需要支出各种费用合计340元，而且这种蔬菜在冷库中最多保存110天，同时，平均每天将会有6千克的蔬菜损坏不能出售．
(1)若存放x天后，将这批蔬菜一次性出售，设这批蔬菜的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
(2)经销商想获得利润22500元，需将这批蔬菜存放多少天后出售？(利润＝销售总金额－收购成本－各种费用)
(3)经销商将这批蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
(导学号 58824142)
解：(1)由题意得y与x之间的函数关系式为y＝(10＋0.5x)(2000－6x)＝－3x2＋940x＋20000(1≤x≤110)；
(2)由题意得：－3x2＋940x＋20000－10×2000－340x＝22500，
解方程得：x1＝50，x2＝150(不合题意，舍去)
经销商想获得利润22500元需将这批蔬菜存放50天后出售；
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(3)设最大利润为W，由题意得W＝－3x2＋940x＋20000－10×2000－340x＝－3(x－100)2＋30000，
∴当x＝100时，W最大＝30000.
∵100天＜110天．
∴存放100天后出售这批蔬菜可获得最大利润30000元．
17．(11分)(2017·大连)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且经过点A(0，)．
(1)若此抛物线经过点B(2，－)，且与x轴相交于点E，F.
①填空：b＝_－2a－1_(用含a的代数式表示)；
②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；
(2)若a＝，当0＜x＜1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．
解：(1)②由①可得抛物线解析式为y＝ax2－(2a＋1)x＋，令y＝0可得ax2－(2a＋1)x＋＝0，
∵b2－4ac＝(2a＋1)2－4a×＝4a2－2a＋1＝4(a－)2＋＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，设为x1、x2，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴EF2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝(－1)2＋3，
∴当a＝1时，EF2有最小值，即EF有最小值，
∴抛物线解析式为y＝x2－3x＋；
(2)当a＝时，抛物线解析式为y＝x2＋bx＋，
∴抛物线对称轴为x＝－b，
∴只有当x＝0、x＝1或x＝－b时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，
当x＝0时，y＝；当x＝1时，y＝＋b＋＝2＋b；当x＝－b时，y＝(－b)2＋b(－b)＋＝－b2＋，
①当|2＋b|＝3时，b＝1或b＝－5，且顶点不在0＜x＜1范围内，满足条件；
②当|－b2＋|＝3时，b＝±3，对称轴为直线x＝±3，不在0＜x＜1范围内，故不符合题意，
综上可知b的值为1或－5.
B卷
1．(3分)(2017·天津)已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，
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点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为( A )
A．y＝x2＋2x＋1 B．y＝x2＋2x－1
C．y＝x2－2x＋1 D．y＝x2－2x－1
2．(3分)(2016·陕西)已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为( D )
A. B. C. D．2
(导学号 58824143)
3．(3分)(2017·盘锦模拟)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a＋3b＋c＜0；③c＞－1；④关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为－.
其中正确的结论个数有_①③④_(填序号)
4．(3分)(2017·铁岭模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以点A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为_a＋4_(用含a的式子表示)．
第4题图
第5题图
5．(3分)如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为_(，2)_．
6．(11分)(2017·扬州)农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
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销售价格
x(元/千克)
30
35
40
45
50
日销售量
p(千克)
600
450
300
150
0
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．(日获利＝日销售利润－日支出费用)(导学号 58824144)
解：(1)p＝－30x＋1500，
检验：当x＝35，p＝450；当x＝45，p＝150；当x＝50，p＝0，符合一次函数解析式，
∴所求的函数表达式为p＝－30x＋1500；
(2)设日销售利润w＝p(x－30)＝(－30x＋1500)(x－30)，即w＝－30x2＋2400x－45000，
∴当x＝－＝40时，w有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
(3)日获利w＝p(x－30－a)＝(－30x＋1500)(x－30－a)，即w＝－30x2＋(2400＋30a)x－(1500a＋45000)，对称轴为x＝－＝40＋a，
①若a＞10，则当x＝45时，w有最大值，即w＝2250－150a＜2430(不合题意)；
②若a＜10，则当x＝40＋a时，w有最大值，将x＝40＋a代入，可得w＝30(a2－10a＋100)，当w＝2430时，2430＝30(a2－10a＋100)，解得a1＝2，a2＝38(舍去)，综上所述，a的值为2.
7．(11分)(2017·临沂)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；
(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
(2)如解图①，连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于点F，∵A(2，－3)，C(0，－3)，∴AF∥x轴，
∴F(－1，－3)，∴BF＝3，AF＝3，
∴∠BAC＝45°，设D(0，m)，则OD＝|m|，
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∵∠BDO＝∠BAC，∴∠BDO＝45°，∴OD＝OB＝1，∴|m|＝1，∴m＝±1，∴D1(0，1)，D2(0，－1)；
图①
(3)设M(a，a2－2a－3)，N(1，n)
①以AB为边，则AB∥MN，AB＝MN，如解图②，过M作ME垂直对称轴于点E，AF垂直x轴于点F，则△ABF≌△NME，∴NE＝AF＝3，ME＝BF＝3，∴|a－1|＝3，∴a＝4或a＝－2，∴M(4，5)或(－2，5)；
②以AB为对角线，BN＝AM，BN∥AM，如解图③，则N在x轴上，M与C重合，∴M(0，－3)，综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为(4，5)或(－2，5)或(0，－3)．
图②
图③
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