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第22讲 与圆有关的计算
(时间40分钟 满分80分)
一、选择题(每小题3分，共18分)
1．(2017·南宁)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于( A )
A. B. C. D.
第1题图
第2题图
2．(2017·山西)如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为( B )
A．5π cm2 B．10π cm2
C．15π cm2 D．20π cm2
3．(2016·荆门)如图，从一块直径为24 cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是( C )
A．12 cm B．6 cm C．3 cm D．2 cm
第3题图
第4题图
4．(2017·河南)如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为点O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是( C )
A. B．2－
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C．2－ D．4－
(导学号 58824187)
5．(2017·丽水)如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是( A )
A.－ B.－2
C.－ D.－
第5题图
第6题图
6．(2017·烟台)如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为( B )
A.π B.π C.π D.π
二、填空题(每小题3分，共18分)
7．(2017·台州)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30厘米，则的长为_20π_厘米．(结果保留π)
8．(2017·菏泽)一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm2，则此扇形的半径长为_3_cm.
9．(2017·日照)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝6，则扇形(图中阴影部分)的面积是_6π_.(导学号 58824188)
第9题图
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第10题图
10．(2016·十堰改编)如图，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为_20_ cm.
11．(2017·青岛)如图，直线AB，CD分别与⊙O相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD，若BD＝4，则阴影部分的面积为_2π－4_.
第11题图
第12题图
12．(2016·武汉改编)如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是_π_.(导学号 58824189)
三、解答题(本大题4小题，共44分)
13．(11分)(2017·随州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若CD＝1，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
(1)证明：如解图，连接DE，OD，
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∵BC相切⊙O于点D，
∴∠CDA＝∠AED，
∵AE为直径，∴∠ADE＝90°，
∵AC⊥BC，∴∠ACD＝90°，
∴∠DAO＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；
(2)解：S阴影＝1－.
14．(11分)(2017·鞍山模拟)如图，在△BCE中，点A是边BE上
一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF.
(1)求证：CB是⊙O的切线；
(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．(导学号 58824190)
(1)证明：如解图，连接OD，与AF相交于点G，
∵CE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，∴∠CDO＝90°，
∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC，
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOC＝∠BOC，
在△CDO和△CBO中，
∴△CDO≌△CBO(SAS)，∴∠CBO＝∠CDO＝90°，
∴CB是⊙O的切线；
(2)解：由(1)可知∠DCO＝∠BCO，∠DOC＝∠BOC，∵∠ECB＝60°，∴∠DCO＝∠BCO＝∠ECB＝30°，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，∴∠DOA＝60°，
∵OA＝OD，∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OF，∵∠GOF＝∠ADO，
在△ADG和△FOG中，，
∴△ADG≌△FOG(AAS)，∴S△ADG＝S△FOG，
∵AB＝6，∴⊙O的半径r＝3，
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∴S阴影＝S扇形ODF＝＝π.
15．(11分)(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，＝.
(1)求证：OA＝OB；
(2)已知AB＝4，OA＝4，求阴影部分的面积．
(1)证明：如解图，连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴∠ACO＝90°，
由于＝，
∴∠AOC＝∠BOC，∴∠A＝∠B，∴OA＝OB；
(2)解：由(1)可知：△OAB是等腰三角形，∴BC＝AB＝2，
∴sin∠COB＝＝，∴∠COB＝60°，
∴∠B＝30°，∴OC＝OB＝2，∴S扇形OCE＝＝，
△OCB的面积为：×2×2＝2，∴S阴影＝2－π.
16．(11分)(2017·潍坊)如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦
，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA.
(1)求证：EF为半圆O的切线；
(2)若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．(结果保留根号和π)
(1)证明：如解图，连接OD，
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∵D为的中点，∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，
∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；
(2)解：连接OC、CD，
∵DA＝DF，∴∠BAD＝∠F＝∠CAD，
又∵∠BAD＋∠CAD＋∠F＝90°，∴∠F＝30°，∠BAC＝60°.
∵DF＝6，∴OD＝DF·tan30°＝6，
∵DA＝6，∠CAD＝30°，∴DE＝DA·sin30°＝3，EA＝DA·cos30°＝9，
∵∠COD＝180°－∠AOC－∠DOF＝60°，
∴CD∥AB，故S△ACD＝S△COD，
∴S阴影＝S△AED－S扇形COD＝×9×3－π×62＝－6π.
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