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第15讲 全等三角形
(时间35分钟 满分90分)
一、选择题(每小题3分，共12分)
1．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( D )
A．∠A＝∠D B．AB＝DC
C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
第1题图
第2题图
2．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝12，则△FBC的面积为( C )
A. 40 B. 46 C. 48 D. 50
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则下列结论错误的是( D )
A．DE＝DC B．∠ADE＝∠ABC
C．BE＝BC D．∠ADE＝∠ABD
第3题图
第4题图
4．如图，点A，E，F，D在同一直线上，若AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有( C )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填空题(每小题3分，共21分)
5．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝_120°_.
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第5题图
第6题图
6．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：_AB＝DE(答案不唯一)_，使得△ABC≌△DEC.
7．(2016·南京)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：
①AC⊥BD；②CB＝CD；
③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.
其中所有正确结论的序号是_①②③_.
第7题图
第8题图
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝_7_cm.
9．在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为_(0，－2)，(2，－2)，(2，2)_．
(导学号 58824153)
第9题图
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第10题图
10．(2017·陕西)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，若AC＝6，则四边形ABCD的面积为_18_.
11．(2017·武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°.若BD＝2CE，则DE的长为_3－3_.
三、解答题(本大题5小题，共57分)
12．(11分)(2017·宜宾)如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE＝CF.
证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴BC＝EF，
∴BC－CE＝EF－CE，即BE＝CF.
13．(11分)(2017·苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
(1)证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.
在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED.
在△AEC和△BED中，
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∴△AEC≌△BED(ASA)．
(2)解：∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.
∵在△EDC中，EC＝ED，∠1＝42°，
∴∠C＝∠EDC＝69°，
∴∠BDE＝∠C＝69°.
14．(11分)(2017·齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E、F分别是BG、AC的中点．
(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；
(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．
(1)证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△BDG和△ADC中，
∴△BDG≌△ADC(SAS)，
∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，
∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E、F分别是BG、AC的中点，
∴DE＝BG＝EG，DF＝AC＝AF，
∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，
∴∠EDG＋∠FDA＝90°，
∴DE⊥DF；
(2)解：∵AC＝10，∴DE＝DF＝5，
由勾股定理得，EF＝＝5.(导学号 58824154)
15．(12分)(2017·重庆A)在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.
(1)如图①，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；
(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.
解：(1)∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴AM＝BM＝ABcos45°＝3×＝3，
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则CM＝BC－BM＝5－3＝2，
∴AC＝＝
＝；
(2)如解图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG.
∵DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，
BM＝AM，
∴△BMD≌△AMC(SAS)，∴AC＝BD，
又CE＝AC，因此BD＝CE，
∵BF＝FC，∠BFG＝∠CFE，FG＝FE，
∴△BFG≌△CFE，
故BG＝CE，∠G＝∠E，
∴BD＝CE＝BG，
∴∠BDG＝∠G＝∠E.
16．(12分)(2017·哈尔滨)已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.
(1)如图①，求证：AE＝BD；
(2)如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．
(1)证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，DC＝EC，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△ACE与△BCD中，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE＝BD；
(2)解：∵AC＝DC，
∴AC＝CD＝EC＝CB，
∴△ACB≌△DCE(SAS)；
由(1)可知：∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠DBC，
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∴∠DOM＝90°，
∵∠AEC＝∠CAE＝∠CBD，
∴△EMC≌△BNC(ASA)，
∴CM＝CN，
∴DM＝AN，△AON≌△DOM(AAS)，
∵DE＝AB，AO＝DO，
∴△AOB≌△DOE(HL)．
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