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第16讲 相似三角形(含位似)
(时间45分钟 满分85分)
A卷
一、选择题(每小题3分，共27分)
1．(2017·兰州)已知2x＝3y(y>0)，则下面结论成立的是( A )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
2．(2017·重庆B)已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( A )
A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
3．(2017·杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则( B )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
第3题图
第4题图
4．(2017·恩施州)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( C )
A．6 B．8 C．10 D．12
(导学号 58824155)
5．(2017·绥化)如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为( A )
A．2∶3 B．3∶2 C．4∶5 D．4∶9
第5题图
第6题图
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6．(2017·哈尔滨)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是( C )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
7．(2016·安徽)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( B )
A．4 B．4 C．6 D．4
第7题图
第8题图
8．(2017·张家界)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是( B )
A．6 B．12 C．18 D．24
9．(2017·泰安)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( B )
A．18 B.
C. D.
二、填空题(每小题3分，共18分)
10．(2017·长春)如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为_6_.
第10题图
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第11题图
11．(2017·临沂)已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝_4_.
12．(2017·随州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝_或_时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
13．(2017·六盘水)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝__.(导学号 58824156)
第13题图
第14题图
14．(2017·铁岭模拟)如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)，以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是_－2.5_.
15．(2017·杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于_78_.
三、解答题(本大题2小题，共22分)
16．(11分)(2017·杭州)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
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(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．(导学号 58824157)
解：(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AED＝∠ACB.
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
(2)由(1)可知：△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
由(1)可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，
∴∠EAF＝∠CAG，∴△EAF∽△CAG，
∴＝，∴＝
17．(11分)(2017·凉山州)如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
解：(1)如解图所示，△A1B1C1就是所求三角形；
(2)如解图所示，△A2B2C2就是所求三角形，
∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)．
∴S△A2B2C2＝8×10－×6×2－×4×8－×6×10＝28.
B卷
1．(3分)如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD＝60°，AM交BC于E.当M为BD中点时，的值为( B )
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A. B. C. D.
第1题图
第2题图
2．(3分)(2017·内江)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM＝AB.若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是_1_.(导学号 58824158)
3．(12分)(2017·武汉)已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.
(1)如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB；
(2)如图②，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；
(3)如图③，另一组对边AB，DC的延长线相交于点F.若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长(用含n的式子表示)．
图①
图②
图③
解：(1)如解图①，∵∠ADC＝90°，∠EDC＋∠ADC＝180°，∴∠EDC＝90°，
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图①
∵∠ABC＝90°，
∴∠EDC＝∠ABC，
∵∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBA，
∴＝，
∴ED·EA＝EC·EB；
(2)S四边形ABCD＝75－18；
图②
(3)如解图②，作CH⊥AD于点H，则CH＝4，DH＝3，∴tan∠E＝，
作AG⊥DF于点G，设AD＝5a，则DG＝3a，AG＝4a，
∴FG＝DF－DG＝5＋n－3a，
∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E＝∠F，易证△AFG∽△CEH，∴＝，∴＝，∴a＝，∴AD＝5a＝.
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