13.2 多边形
(第一课时)
（一）引入
你能从图中找出几个由一些线段围成的图形吗?
（二）知识点
我们学过三角形。类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（po1ygon）。
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个
多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形就叫做 n 边形。如图，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可
以设计为八边形。
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图 7.3—3 中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E 是五边形 ABCDE
的 5 个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图中的∠l 是五边形 ABCDE 的
一个外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）。图 7.3—5 中，AC、AD 是
五边形 ABCDE 的两条对角线。
特别提醒：n 边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把 n 边形分割成（n－2）个三角形，
共有对角线 条。例如：十边形有________条对角线。在这里 n=10，就可套用对角线条数公式
（条）。
如图 7.3—6（1），画出四边形 ABCD 的任何一条边（例如 CD）所在直线，整个四边形都在这条直线
的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。而图 7.3—6（2）中的四边形 ABCD 就不是凸四边形，因为画出边
CD（或 BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，
如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节只讨论凸多边形。
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形那样，各个角都相等，各条边都相等的
多边形叫做正多边形。图 7.3－7 是正多边形的一些例子。
特别提醒：（1）正多边形必须两个条件同时具备，①各内角都相等；②各边都相等。例如：矩形各
个内角都相等，它就不是正四边形。再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形。
（三）练习
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（四）小结
引导学生总结本节的知识点。13.2 多边形
(第二课时)
（一）思考
三角形的内角和等于 180°。正方形、长方形的内角和都等于 360°，其他四边形的内角和等于多少？
（二）探究
任意画一个四边形，量出它的 4 个内角，计算它们的和。 再画几个四边形，量一量，算一算。你能
得出什么结论?能否利用三角形内角和等于 180°得出这个结论?
如图 7.3—8，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形。这样，任意一
个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即 360°。
从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗?观察图 7.3—9，请填空：
从五边形的一个顶点出发，可以引_______条对角线，它们将五边形分为_______个三角形，五边形的
内角和等于 180°×_________。
从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的
内角和等于 180°×__________。
通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗?
一般地，怎样求 n 边形的内角和呢?请填空：
从 n 边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将 n 边形分为________个三角形，n 边形的
内角和等于 180°×______。
总结：过 n 边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形
内角和 180°。
所以 n 边形内角和（n－2）×180°。
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗?由新的分法，能得出多边形内角和公式吗? 方法 2：如图：7－3－3 过 n 边形内任意一点与 n 边形各顶点连接，可得 n 个三角形，其内角和 n×
180°。再减去以 O 为顶点的周角。
即得 n 边形内角和 n·180°－360°。
得出了多边形内角和公式：n 边形内角和等于（n－2）·180°。
（三）例题
例 1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系?
解：如图 7.3—10，四边形 ABCD 中，
∠A＋∠C＝180°。
因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4—2）×180°＝360°，
所以∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）
=360°－180°=180°。
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。
例 2 如图 7.3—11，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边
形的外角和等于多少?
分析：考虑以下问题：
（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系?（2）六边形的 6 个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少?
（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系?
联系这些问题，考虑外角和的求法。
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角，都等于 180°。6 个外角连同它们各自相邻的内角，
共有 12 个角。这些角的总和等于 6×180°。
这个总和就是六边形的外角和加上内角和。所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于 6×180°
－（6－2）×180°＝2×180°＝360°。
（四）探究
如果将例 2 中六边形换为 n 边形（n 的值是不小于 3 的任意整数），可以得到同样结果吗?
思路：（用计算的方法）
设 n 边形的每一个内角为∠1，∠2，∠3，……，∠n，其相邻的外角分别为 180°－∠1，180°－∠
2，180°－∠3，…180°－∠n。外角和为（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋…＋（180°－∠n）=n×
180°－（∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠n）=n×180°－（n－2）×180°=360°
注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想。
由上面的探究可以得到：
多边形的外角和等于 360°。
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于 360°。
如图 7.3—12，从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点 A，然后转向出
发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由于走了一周，所转的各个角的和等于
一个周角，所以多边形的外角和等于 360°。
（五）练习
一起学习课本的练习
（六）小结
引导学生总结本节所学的知识点
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