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课时跟踪检测（一） 平面向量（小题练）
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2018·贵州模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(m，－1)，若a∥b，则实数m的值为( )
A. B．－
C．3 D．－3
解析：选B 由题意，得1×(－1)－2m＝0，解得m＝－，故选B.
2．(2018·福州模拟)已知a＝(1,2)，b＝(－1,1)，c＝2a－b，则|c|＝( )
A. B．3
C. D.
解析：选B 因为c＝2a－b＝2(1,2)－(－1,1)＝(3,3)，
所以|c|＝＝3.故选B.
3．(2019届高三·广西五校联考)设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则( )
A．＝－ B．＝－
C．＝－ D．＝－
解析：选A ＝＋＝－＝－－＝－.
4．(2018·云南调研)在▱ABCD中，＝8，＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝( )
A．48 B．36
C．24 D．12
解析：选C ·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.
5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是( )
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A. B．－
C．3 D．－3
解析：选C 依题意得，＝(2,1)，＝(5,5)，·＝(2,1)·(5,5)＝15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝3.
6．(2019届高三·湖南五市十校联考)△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则向量a，b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C ＝－＝2a＋b－2a＝b，则向量a，b的夹角即为向量与的夹角，故向量a，b的夹角为120°.
7．(2018·西工大附中四模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点G在△ABC内，且满足＋＋＝0，·＝0，若a2＋b2＝λc2(λ∈R)，则λ＝( )
A．－5 B．－2
C．2 D．5
解析：选D 设BC的中点为D，连接GD(图略)，则＋＝2.
又＋＋＝0，所以2＝，
所以A，G，D三点共线，且AG＝2GD.
故＝＝×(＋)＝(＋)．
同理可得＝(＋)．
由·＝0，得(＋)·(＋)＝0，
所以(＋)·(－2)＝0，
即||2－2||2－·＝0，
所以b2－2c2－bc·＝0，
化简得a2＋b2＝5c2.
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又a2＋b2＝λc2(λ∈R)，所以λ＝5.故选D.
8．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，∴＝(2,0)，＝(1，)，又＝λ，＝(1－λ)，∴P(2λ，0)，Q(1－λ，(1－λ))，∴·＝(－1－λ，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝.
9．(2018·西安八十三中二模)称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则( )
A．a⊥b B．a⊥(a－b)
C．b⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
解析：选C 由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b)．故选C.
10．(2018·河南林州检测)已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：＝m＋n,4m＋3n＝2，且||＝4，||＝6，则·＝( )
A．36 B．24
C．24 D．12
解析：选A ·＝m2＋n·，因为O为△ABC的外心，所以2＝
m2＋n||·||·cos∠BCA，所以24＝48m＋24n·cos∠BCA，因为4m＋3n＝2，所以24＝12(2－3n)＋24n·cos∠BCA，又n≠0，即cos∠BCA＝，所以·＝||·|
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|cos∠BCA＝4×6×＝36.
11．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2(k>0)，若以向量e1，e2为两边的三角形的面积为，则k的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为两边的三角形的面积为，得×1×1×sin θ＝，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0.从而将e3＝e1＋ke2两边平方得1＝＋k2，解得k＝或k＝－(舍去)．
12.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m＋n (m>0，n>0)，m＋n＝2，则∠AOB的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 将＝m＋n平方得1＝m2＋n2＋2mncos∠AOB，
cos∠AOB＝＝＝－＋1≤－(当且仅当m＝n＝1时等号成立)，
∵00，O为坐标原点，则点P的轨迹的长度为( )
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A. B.
C. D.
解析：选D 设P(x，y)，因为＝(2,0)，＝(0,1)，＝＋＝，所以x＝，y＝(其中m，n>0)，所以x2＋y2＝2(其中x，y>0)，则点P的轨迹的长度为×2π×＝.
4．(2018·重庆模拟)已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A. B.
C. D．(2,3)
解析：选A 以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)．设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)．设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)，所以0
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