2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十立体几何大题练理20190220393.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 课时跟踪检测（十） 立体几何 （大题练）‎ A卷——大题保分练 ‎1.(2018·洛阳模拟)如图，在四棱锥PABCD中，E，F分别是PC，PD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝2，且平面PAD⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证：平面AEF⊥平面PCD；‎ ‎(2)求平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．‎ 解：(1)证明：由题意知，PA＝PD＝AD，F为PD的中点，‎ 可得AF⊥PD，‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，‎ ‎∴CD⊥平面PAD.‎ 又AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF，‎ 又CD∩PD＝D，‎ ‎∴AF⊥平面PCD，又AF⊂平面AEF，‎ ‎∴平面AEF⊥平面PCD.‎ ‎(2)取AD的中点O，BC的中点G，连接OP，OG，‎ ‎∵PA＝PD＝AD，∴OP⊥AD.‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，OP⊂平面PAD，∴OP⊥平面ABCD.‎ 分别以OA，OG，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(1,0,0)，C(－1,2,0)，E，F，＝，＝(0,1,0)．‎ 设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则即 可取m＝(1,0，)，为平面AEF的一个法向量．‎ 同理，可得平面ACE的一个法向量为n＝(，，1)．‎ cos〈m，n〉＝＝＝.‎ ‎∴平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎2.(2018·山西八校联考)如图，三棱柱ABCA1B‎1C1中，∠ACB＝90°，CC1⊥底面ABC，AC＝BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱AB，BC，B‎1C1的中点，G 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 是棱BB1上的动点．‎ ‎(1)当为何值时，平面CDG⊥平面A1DE?‎ ‎(2)求平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值．‎ 解：(1)当＝，即G为BB1的中点时，平面CDG⊥平面A1DE.‎ 证明如下：因为点D，E分别是AB，BC的中点，‎ 所以DE∥AC且DE＝AC，‎ 又AC∥A‎1C1，AC＝A‎1C1，‎ 所以DE∥A‎1C1，DE＝A‎1C1，‎ 故D，E，C1，A1四点共面．‎ 如图，连接C1E交GC于H.在正方形CBB‎1C1中，tan∠C1EC＝2，tan∠BCG＝，‎ 故∠CHE＝90°，即CG⊥C1E.因为A‎1C1⊥平面CBB‎1C1，CG⊂平面CBB‎1C1，所以DE⊥CG，‎ 又C1E∩DE＝E，所以CG⊥平面A1DE，‎ 故平面CDG⊥平面A1DE.‎ ‎(2)由(1)知，当G为BB1的中点时，平面A1DE的一个法向量为.三棱柱ABCA1B‎1C1中，∠ACB＝90°，CC1⊥底面ABC，所以以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 因为AC＝BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱AB，BC，B‎1C1的中点，所以C(0,0,0)，A1(2,0,2)，D(1,1,0)，E(0,1,0)，B(0,2,0)，F(0,1,2)，G(0,2,1)，＝(－2,2，－2)，＝(－2,1,0)，＝(0,2,1)．由CD知为平面A1DE的一个法向量．‎ 设平面A1BF的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 令x＝1得n＝(1,2,1)，为平面A1BF的一个法向量．‎ 设平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角为θ，‎ 则cos θ＝＝＝，‎ 所以平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图②所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.‎ ‎(1)设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF∥平面D1AE；‎ ‎(2)求直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值．‎ 解：(1)如图，取D1E的中点，记为L，连接AL，FL，则FL∥EC，又EC∥AB，‎ ‎∴FL∥AB，且FL＝AB，‎ ‎∴M，F，L，A四点共面，且平面D1AE∩平面AMFL＝AL，‎ 若MF∥平面D1AE，则MF∥AL，‎ ‎∴四边形AMFL为平行四边形，∴AM＝FL＝AB.‎ ‎(2)取AE的中点O，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，连接OD1.‎ ‎∵AD1＝D1E，∴D1O⊥AE，∴D1O⊥平面ABCE，D1O⊥OG，D1O⊥OH，又易得OG⊥OH，故OG，OH，OD1两两垂直，以O为坐标原点，OG，OH，OD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 则B(1,3,0)，C(－1,3,0)，E(－1,1,0)，D1(0,0，)．‎ 故＝(－1，－3，)，＝(1，－3，)，＝(0，－2,0)．‎ 设平面CD1E的一个法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则即 取x＝，得m＝(，0，－1)．‎ 设直线BD1与平面CD1E所成的角为θ，‎ 则sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝.‎ 即直线BD1与平面CD1E所成的角的正弦值为.‎ ‎4.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形， ∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，H是CF的中点．‎ ‎(1)求证：AC⊥平面BDEF；‎ ‎(2)求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(3)求二面角HBDC的大小．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD.‎ 又∵平面BDEF⊥平面ABCD，‎ 平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥平面BDEF.‎ ‎(2)设AC∩BD＝O，取EF的中点N，连接ON，‎ ‎∵四边形BDEF是矩形，O，N分别为BD，EF的中点，∴ON∥ED.‎ ‎∵ED⊥平面ABCD，∴ON⊥平面ABCD.‎ 由AC⊥BD，得OB，OC，ON两两垂直．‎ ‎∴以O为原点，OB，OC，ON所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．‎ ‎∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，BF＝3，‎ ‎∴A(0，－，0)，B(1,0,0)，D(－1，0,0)，E(－1,0,3)，F(1,0,3)，C(0，，0)，H.‎ ‎∵AC⊥平面BDEF，‎ ‎∴平面BDEF的法向量＝(0,2，0)．‎ 设直线DH与平面BDEF所成角为α，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴sin α＝|cos〈，〉|＝＝，‎ ‎∴直线DH与平面BDEF所成角的正弦值为.‎ ‎(3)由(2)，得＝，＝(2,0,0)．‎ 设平面BDH的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则 令z＝1，得n＝(0，－，1)．‎ 由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量为＝(0,0，－3)，则cos〈n，〉＝＝－，‎ 由图可知二面角HBDC为锐角，‎ ‎∴二面角HBDC的大小为60°.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 B卷——深化提能练 ‎1.(2019届高三·辽宁五校联考)如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD∥AB，BC⊥AB，侧面ABE⊥平面ABCD，且AB＝AE＝BE＝2BC＝2CD＝2，动点F在棱AE，且EF＝λFA.‎ ‎(1)试探究λ的值，使CE∥平面BDF，并给予证明；‎ ‎(2)当λ＝1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值．‎ 解：(1)当λ＝时，CE∥平面BDF.证明如下：‎ 连接AC交BD于点G，连接GF(图略)，‎ ‎∵CD∥AB，AB＝2CD，∴＝＝，‎ ‎∵EF＝FA，∴＝＝，∴GF∥CE，‎ 又CE⊄平面BDF，GF⊂平面BDF，‎ ‎∴CE∥平面BDF.‎ ‎(2)如图，取AB的中点O，连接EO，则EO⊥AB，‎ ‎∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，‎ ‎∴EO⊥平面ABCD，‎ 连接DO，∵BO∥CD，且BO＝CD＝1，∴四边形BODC为平行四边形，∴BC∥DO，又BC⊥AB，∴AB⊥OD，‎ 则OD，OA，OE两两垂直，以OD，OA，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，‎ 则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0，－1,0)，D(1,0,0)，C(1，－1，0)，E(0,0，)．‎ 当λ＝1时，有＝，∴F，‎ ‎∴＝(1,1,0)，＝(－1,1，)，＝.‎ 设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则有即令z＝，得y＝－1，x＝1，则n＝(1，－1，)为平面BDF的一个法向量，‎ 设直线CE与平面BDF所成的角为θ，‎ 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，‎ 故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2.(2018·山东潍坊模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝2，E是PC的中点，∠DAC＝∠AOB.‎ ‎(1)求证：BE∥平面PAD；‎ ‎(2)若二面角PCDA的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．‎ 解：(1)证明：∵∠DAC＝∠AOB，∴AD∥OB.∵E为PC的中点，O为圆心，连接OE，∴OE∥PA，又OB∩OE＝O，PA∩AD＝A，∴平面PAD∥平面EOB，∵BE⊂平面EOB，∴BE∥平面PAD.‎ ‎(2)∵四边形ABCD内接于圆O且AC为直径，∴AD⊥CD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角PCDA的平面角，‎ ‎∵tan∠PDA＝2，PA＝2，∴AD＝1，如图，以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz.PA＝AC＝2，AD＝1，延长BO交CD于点F，∵BO∥AD，∴BF⊥CD，∴BF＝BO＋OF，∴BF＝1＋＝，又CD＝，∴DF＝，∴P(1,0,2)，B，C(0，，0)，＝(1，－，2)，＝(0，，0)，设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，‎ ‎∵即 令z＝1，则x＝－2，y＝0.∴n＝(－2,0,1)是平面PCD的一个法向量，‎ 又＝，‎ ‎∴|cos〈，n〉|＝＝＝，‎ ‎∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.‎ ‎3.(2018·合肥一模)如图，已知平行四边形ABCD与△EMN所在的平面都与矩形BDEF所在的平面垂直，且∠BAD＝60°，AB＝MN＝2AD＝2，EM＝EN，F为MN的中点．‎ ‎(1)求证：MN∥AD；‎ ‎(2)若直线AE与平面ABCD所成的角为60°，求二面角MABC的余弦值．‎ 解：(1)证明：在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1，由余弦定理可得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝，AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.又平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD，所以AD⊥平面BDEF.在△EMN中，EM＝EN，F为MN的中点，所以MN⊥EF，又平面EMN⊥平面BDEF，平面EMN∩平面 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 BDEF＝EF，所以MN⊥平面BDEF.所以MN∥AD.‎ ‎(2)在矩形BDEF中，ED⊥BD，‎ 又平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD，所以ED⊥平面ABCD.‎ 所以∠EAD为直线AE与平面ABCD所成的角，‎ 故∠EAD＝60°.‎ 在Rt△EAD中，ED＝ADtan∠EAD＝1×tan 60°＝.‎ 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DB，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，E(0,0，)，F(0，，)，M(1，，)，＝(0，－，－)，＝(－1，，0)．‎ 因为DE⊥平面ABCD，‎ 所以＝(0,0，)为平面ABCD的一个法向量．‎ 设平面MAB的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 所以即 整理得 令y＝1，则x＝，z＝－1，‎ 所以n＝(，1，－1)是平面MAB的一个法向量．‎ 所以cos〈 ，n〉＝＝－＝－.‎ 设二面角MABC的大小为θ，由图可知θ为钝角，‎ 所以cos θ＝cos〈，n〉＝－.‎ ‎4．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2，AD＝，AB＝1，如图①所示，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置得三棱锥PBCD，如图②所示．‎ ‎(1)求证：BD⊥PC；‎ ‎(2)当平面PBD⊥平面PBC时，求二面角PDCB的大小．‎ 解：(1)证明：在图①中，连接AC，交BD于点G，‎ 因为∠CDA＝∠DAB＝90°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以tan∠CAD＝＝，tan∠DBA＝＝，‎ 所以∠CAD＝∠DBA，‎ 因为∠CAD＋∠BAG＝90°，‎ 所以∠DBA＋∠BAG＝90°，所以BD⊥AC.‎ 所以将△ABD沿BD折起到△PBD的位置后，仍有BD⊥PG，BD⊥CG，如图②所示，‎ 又PG∩CG＝G，所以BD⊥平面PCG，‎ 又PC⊂平面PCG，所以BD⊥PC.‎ ‎(2)因为平面PBD⊥平面PBC，PB⊥PD，平面PBD∩平面PBC＝PB，PD⊂平面PBD，所以PD⊥平面PBC，‎ 因为PC⊂平面PBC，所以PD⊥PC，‎ 又BD⊥PC，BD∩PD＝D，所以PC⊥平面PBD，所以BP⊥CP.‎ 以P为坐标原点，PC，PB，PD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图③所示，则P(0,0,0)，B(0,1,0)，C(，0,0)，D(0,0，)，＝(0，－1，)，＝(，－1,0)，‎ 易知平面PCD的一个法向量为m＝(0,1,0)，‎ 设n＝(x，y，z)为平面BCD的法向量，‎ 则即 令x＝1，则y＝，z＝1，得n＝(1，，1)是平面BCD的一个法向量．‎ 则cos〈m，n〉＝＝，‎ 易知二面角PDCB为锐角，‎ 所以二面角PDCB的大小为45°.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费