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课时跟踪检测（十五） “专题四”补短增分（综合练）
A组——易错清零练
1．(2018·福建龙海程溪中学期末)3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )
A．2 B．9
C．72 D．36
解析：选C 可分两步：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A种排法；
第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有A种，男生“内部”的排法有A种．
所以排法种数为A×A×A＝72.
2．(2018·兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
m
70
根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则表中m的值为( )
A．45 B．50
C．55 D．60
解析：选D ∵＝＝5，
＝＝，
∴当＝5时，＝6.5×5＋17.5＝50，
∴＝50，解得m＝60.
3．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．
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解析：前三组人数为100－62＝38，第三组人数为38－(1.1＋0.5)×0.1×100＝22，则a＝22＋0.32×100＝54.
答案：54
4．在边长为2的正方形ABCD内任取一点M，满足·≤0的概率为________．
解析：在边长为2的正方形ABCD内任取一点M，满足·≤0即满足90°≤∠AMB≤180°的点M所在的区域为如图所示的阴影部分．根据几何概型的概率计算公式，得·≤0的概率为＝.
答案：
5．某小区有两个相互独立的安全防范系统甲和乙，系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为0.25，则p＝________.
解析：记“系统甲发生故障”、“系统乙发生故障”分别为事件A，B，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件C，则P(C)＝P()P(B)＋P(A)P()＝·p＋·(1－p)＝0.25，解得p＝.
答案：
B组——方法技巧练
1．点(a，b)是区域内的任意一点，则使函数f(x)＝ax2－2bx＋3在区间上是增函数的概率为( )
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A. B.
C. D.
解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图所示，可行域为△OAB及其内部(不包括边OA，OB)，其中A(0,4)，B(4,0)．若函数f(x)＝ax2－2bx＋3在区间上是增函数，则即则满足条件的(a，b)所在区域为△OBC及其内部(不包括边OB)．
由得∴C，∴S△OBC＝×4×＝，又S△OAB＝×4×4＝8，∴所求的概率P＝＝.
2．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为( )
A．16 B．18
C．32 D．72
解析：选D 因为对空位有特殊要求，先确定空位，假设7个车位分别为1234567，先研究恰有3个连续空位的情况，若3个连续空位是123或567，另一个空位各有3种选法，车的停放方法有A种，故停放方法有2×3×A＝36(种)；若3个连续空位是234或345或456，另一个空位各有2种选法，车的停放方法依然有A种，因此此种情况下停放方法有3×2×A＝36(种)，从而不同的停放方法共有72种．
3．(2019届高三·皖南八校联考)将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)，P(B|A)分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选A P(A|B)的含义是在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C×5×4＝60种情况，所以P(A|B)＝.P(B|A)的含义是在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，三个点数都不同，有6×5×4＝120种情况，所以P(B|A)＝.
4．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为甲，乙，则甲＞乙的概率是________．
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解析：由茎叶图知乙＝＝90，甲＝＝89＋.污损处可取数字0,1,2，…，9，共10种，而甲＞乙时，污损处对应的数字有6,7,8,9，共4种，故甲＞乙的概率为＝.
答案：
C组——创新应用练
1．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内接正方形边长为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图，设Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，其内接正方形CEDF的边长为x，
则由△ADF∽△ABC，得＝，
即＝，解得x＝.
从而正方形CEDF的面积为S正方形CEDF＝2，
又Rt△ABC的面积为S△ABC＝，所以所求概率P＝＝＝＝，故选C.
2．(2018·广东韶关调研)我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )
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A. B.
C. D.
解析：选A 从10部名著中选择2部名著的方法数为C＝45(种)，所选的2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C＝21(种)，只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为CC＝21(种)，于是事件“所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著”的概率P＝＝.
3．国际教育信息化会议在山东青岛开幕，为了解哪些人更关注国际教育信息化会议，某机构随机抽取了年龄在25～75岁之间的100人进行调查，经统计“青年”与“中老年”的人数之比为9∶11.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为关注国际教育信息化会议与年龄有关；
关注
不关注
总计
青年
15
中老年
总计
50
50
100
(2)现从抽取的“青年”中采用分层抽样的方法选取9人进行问卷调查，在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注国际教育信息化会议的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：
P(K2≥k0)
0.05
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)依题意可知，抽取的“青年”共有100×＝45(人)，“中老年”共有100－45＝55(人)．
补全2×2列联表如下：
关注
不关注
总计
青年
15
30
45
中老年
35
20
55
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总计
50
50
100
则K2的观测值k＝≈9.091.
因为9.091>6.635，
所以有99%的把握认为关注国际教育信息化会议与年龄有关．
(2)根据题意知选出的9人中关注该会议的人数为9×＝3，不关注该会议的人数为9－3＝6，在这9人中再选取3人进行面对面询问，则X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
4．某校倡议为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现负责老师统计了连续5天售出矿泉水的箱数和捐款箱中的收入情况，列表如下：
售出矿泉水量x/箱
7
6
6
5
6
收入y/元
165
142
148
125
150
学校计划将所得的捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：综合考核前20名的特困生获一等奖学金500元；综合考核21～50名的特困生获二等奖学金300元；综合考核50名以后的特困生不获得奖学金．
(1)若x与y成线性相关，则某天售出9箱矿泉水时，预计捐款箱中的收入为多少元？
(2)甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为，已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲、乙两名学生所获得奖学金之和X的分布列及数学期望．
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附：回归方程＝x＋，其中＝，＝－.
解：(1)由表得＝×(7＋6＋6＋5＋6)＝6，＝×(165＋142＋148＋125＋150)＝146，
＝49＋36＋36＋25＋36＝182，
iyi＝7×165＋6×142＋6×148＋5×125＋6×150＝4 420，
所以＝＝＝20，
＝－＝146－20×6＝26，
所以线性回归方程为＝20x＋26，当x＝9时，＝20×9＋26＝206，所以y的估计值为206元．
(2)由题意得，X的可能取值为0,300,500,600,800，1 000，则
P(X＝0)＝×＝；
P(X＝300)＝2××＝；
P(X＝500)＝2××＝；
P(X＝600)＝×＝；
P(X＝800)＝2××＝；
P(X＝1 000)＝×＝.
则X的分布列为
X
0
300
500
600
800
1 000
P
所以E(X)＝0×＋300×＋500×＋600×＋800×＋1 000×＝600.
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