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课时跟踪检测（五） “专题一”补短增分（综合练）
A组——易错清零练
1．(2018·河北邢台月考)设向量a＝(3,2)，b＝(6,10)，c＝(x，－2)．若(2a＋b)⊥c，则x＝( )
A．－ B．－3
C. D.
解析：选D 因为a＝(3,2)，b＝(6,10)，所以2a＋b＝(12,14)．因为c＝(x，－2)，且(2a＋b)⊥c，所以(2a＋b)·c＝0，即12x－28＝0，解得x＝，故选D.
2．(2018·河南中原名校质量考评)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B.
C．0 D.
解析：选B 将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin＝sin.因为所得函数为偶函数，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，则φ的一个可能取值为，故选B.
3．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
解析：由正弦定理，得sin B＝＝＝，因为0°＜B＜180°，所以B＝45°或135°.因为b＜c，所以B＜C，故B＝45°，所以A＝180°－60°－45°＝75°.
答案：75°
B组——方法技巧练
1．已知向量a，b，且|a|＝，a与b的夹角为，a⊥(2a－b)，则|b|＝( )
A．2 B．4
C. D．3
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解析：选B 如图，作＝a，＝b，〈a，b〉＝，作＝2a，则＝2a－b.由a⊥(2a－b)可知，OC⊥BC.在Rt△OCB中，OC＝2|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，解得|b|＝4.故选B.
2．在△ABC中，A＝120°，若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为( )
A．15 B．14
C．10 D．8
解析：选B 在△ABC中，A＝120°，则角A所对的边a最长，三边长构成公差为4的等差数列，不妨设b＝a－4，c＝a－8(a>8)．由余弦定理得a2＝(a－4)2＋(a－8)2－2(a－4)(a－8)cos 120°，即a2－18a＋56＝0，所以a＝4(舍去)或a＝14.
3．(2018·广州模拟)已知 △ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，(，0)，(0，－2)，O为坐标原点，动点P满足||＝1，则|＋＋|的最小值是( )
A.－1 B.－1
C.＋1 D.＋1
解析：选A 已知点C坐标为(0，－2)，且||＝1，所以设P(cos θ，－2＋sin θ)，则|＋＋|＝＝＝≥ ＝－1.
4．已知AB为圆O：(x－1)2＋y2＝1的直径，点P为直线x－y＋1＝0上任意一点，则·的最小值为( )
A．1 B.
C．2 D．2
解析：选A 由题意，设A(1＋cos θ，sin θ)，P(x，x＋1)，则B(1－cos θ，－sin θ)，∴＝(1＋cos θ－x，sin θ－x－1)，＝(1－cos θ－x，－sin θ－x－1)，∴·＝(1＋cos θ－x)(1－cos θ－x)＋(sin θ－x－1)(－sin θ－x－1)＝(1－x)2－cos2θ＋(－x－1)2－sin2θ＝2x2＋1≥1，当且仅当x＝0时，等号成立，故选A.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝5，a＝3，cos(B－A)＝，则△ABC的面积为( )
A. B.
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C．5 D．2
解析：选C 如图所示，在边AC上取点D使A＝∠ABD，则cos∠DBC＝cos(∠ABC－A)＝，设AD＝DB＝x，在△BCD中，由余弦定理得，(5－x)2＝9＋x2－2×3x×，解得x＝3.故BD＝BC，在等腰三角形BCD中，DC边上的高为2，所以S△ABC＝×5×2＝5，故选C.
6．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝1，cos Bsin C＋(a－sin B)cos(A＋B)＝0.
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC面积的最大值．
解：(1)由cos Bsin C＋(a－sin B)cos(A＋B)＝0，可得cos Bsin C－(a－sin B)cos C＝0，即sin(B＋C)＝acos C，sin A＝acos C，即＝cos C．因为＝＝sin C，所以cos C＝sin C，即tan C＝1，C＝.
(2)由余弦定理得12＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，
所以a2＋b2＝1＋ab≥2ab，ab≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以S△ABC＝absin C≤××＝.所以△ABC面积的最大值为.
7．已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．
解：(1)f(x)＝cos2x－sin xcos x－
＝－sin 2x－＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
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(2)由(1)知f(x)＝－sin，
∴f(A)＝－sin＝－1，
∵△ABC为锐角三角形，∴0
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