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课时跟踪检测（十六） 直线与圆（小题练）
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( )
A．－ B．0
C．－或0 D．2
解析：选C 由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－.经检验，当a＝0或a＝－时均有l1∥l2，故选C.
2．(2018·贵阳模拟)经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的面积S＝( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：选D 法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得解得D＝－2，E＝0，F＝－3，所以圆的方程为x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，所以圆的半径r＝2，所以S＝4π.故选D.
法二：根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心坐标为(1，a)，则r＝＝|a－2|，所以a＝0，r＝2，所以S＝4π，故选D.
3．已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
解析：选A (x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝＝，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为1∶2，故选A.
4．(2018·山东临沂模拟)已知直线3x＋ay＝0(a>0)被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a的值为( )
A. B.
C．2 D．2
解析：选B 由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为，即＝，得a＝.
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5．(2018·郑州模拟)已知圆(x－a)2＋y2＝1与直线y＝x相切于第三象限，则a的值是( )
A. B．－
C．± D．－2
解析：选B 依题意得，圆心(a,0)到直线x－y＝0的距离等于半径，即有＝1，|a|＝.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a＝－，故选B.
6．(2018·山东济宁模拟)已知圆C过点A(2,4)，B(4,2)，且圆心C在直线x＋y＝4上，若直线x＋2y－t＝0与圆C相切，则t的值为( )
A．－6±2 B．6±2
C．2±6 D．6±4
解析：选B 因为圆C过点A(2,4)，B(4,2)，所以圆心C在线段AB的垂直平分线y＝x上，又圆心C在直线x＋y＝4上，联立解得x＝y＝2，即圆心C(2,2)，圆C的半径r＝＝2.又直线x＋2y－t＝0与圆C相切，所以＝2，解得t＝6±2.
7．若过点A(1,0)的直线l与圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，l与直线x＋2y＋2＝0的交点为N，则|AM|·|AN|的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B 圆C的方程化成标准方程可得(x－3)2＋(y－4)2＝4，故圆心C(3,4)，半径为2，则可设直线l的方程为kx－y－k＝0(k≠0)，由得N，又直线CM与l垂直，得直线CM的方程为y－4＝－(x－3)．
由
得M，
则|AM|·|AN|＝·＝××＝6.故选B.
8．(2019届高三·湘东五校联考)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
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解析：选B 圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B.
9．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值为( )
A．4 B．3
C．5 D．6
解析：选A 易知圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离d＝＝5，所以圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值为5－1＝4.
10．(2019届高三·西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为( )
A．(－，) B．[－， ]
C. D.
解析：选D 数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即≤1，解得－≤k≤，故选D.
11．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d＝＝＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2＝2上一动点，则的最大值是( )
A．1 B．3
C．2 D.
解析：选C 设动点P(x，y)，令＝t(t>0)，则＝t2，整理得，(1－t2)x2＋(1－t2)y2－2x＋(2－4t2)y＋2－4t2＝0，(*)
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易知当1－t2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P在该圆上，
又点P在圆x2＋y2＝2上，所以点P为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l的方程为x－(1－2t2)y－2＋3t2＝0，
所以圆心(0,0)到直线l的距离d＝≤，解得0，解得k>1或k0，n>0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离d＝＝1，即|m＋n|＝，两边平方并整理得m＋n＋1＝mn≤2，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≥2＋2，所以m＋n的取值范围为[2＋2，＋∞)．
答案：[2＋2，＋∞)
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