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课时跟踪检测（二十） “专题五”补短增分（综合练）
A组——易错清零练
1．(2018·浙江嘉兴校级期中)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若l1⊥l2，则a＋a(a＋2)＝0，即a(a＋3)＝0，解得a＝0或a＝－3，所以“a＝－3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.
2．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F，且倾斜角为的直线l与双曲线Γ交于A，B两点，O是坐标原点，若∠AOB＝∠OAB，则双曲线Γ的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意可知AB是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB＝∠OAB，可知△AOB为等边三角形，所以tan∠AOF＝＝，整理得b2＝ac，由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋ac，两边同时除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝.故选C.
3．(2019届高三·西安八校联考)过点P(2,1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±x，点P在直线y＝x上．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
即y＝kx＋1－2k，
由消去y得x2－4(kx＋1－2k)2＝4，
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即(1－4k2)x2－8(1－2k)kx－4(1－2k)2－4＝0，(*)
若1－4k2＝0，则k＝±，
当k＝时，方程(*)无实数解，因此k＝不满足题意；
当k＝－时，方程(*)有唯一实数解，因此k＝－满足题意．
若1－4k2≠0，即k≠±，此时Δ＝64k2(1－2k)2＋16(1－4k2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k不存在．
综上所述，满足题意的直线l共有2条．
4．已知椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.
解析：①当椭圆的焦点在x轴上时，
则a2＝4，即a＝2.又e＝＝，
所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝4－()2＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，
椭圆的方程为＋＝1.则b2＝4，即b＝2.
又e＝＝，故 ＝，解得＝，即a＝2b，
所以a＝4.故m＝a2＝16.综上，m＝1或16.
答案：1或16
5．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点．连接MC1，MC2.
根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离比与C1
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的距离大)，
可设轨迹方程为－＝1(a>0，b>0，x0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
kAB＝＝＝.
由得kAB＝＝＝·，则·＝，
∴＝，故＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
C组——创新应用练
1．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝＋，则r＝( )
A．2 B.
C．2 D.
解析：选B 已知＝＋，
两边平方化简得·＝－r2，
所以cos∠AOB＝－，所以cos＝，
又圆心O(0,0)到直线的距离为＝，
所以＝，解得r＝.
2．(2018·贵阳模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是( )
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A. B.
C. D.
解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜，即＞，因此题中的双曲线的离心率e＝∈.
3．(2018·武汉调研)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan 2α＝.∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d.∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝m，∴－tan 2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝＝a，∴e＝＝.
4．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的一点．△F1PF2中，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当点P在椭圆上运动时，求点R的轨迹方程．
解：如图，直线l为∠F1PF2的外角平分线且点F2与点Q关于直线l对称，由椭圆的光学性质知，F1，P，Q三点共线．根据对称性，|PQ|＝|PF2|，所以|F1Q|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.连接OR，因为O为F1F2的中点，R为F2Q的中点，所以|OR|＝|F1Q|＝a.设R(x，y)，则x2＋y2＝a2(y≠0)，故点R的轨迹方程为x2＋y2＝a2(y≠0)．
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5．(2019届高三·西安八校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过(1,1)与两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足|MA|＝|MB|.求证：＋＋为定值．
解：(1)将(1,1)与两点代入椭圆C的方程，
得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：由|MA|＝|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称．
①若点A，B是椭圆的短轴顶点，
则点M是椭圆的一个长轴顶点，
此时＋＋＝＋＋
＝2＝2.
同理，若点A，B是椭圆的长轴顶点，
则点M在椭圆的一个短轴顶点，
此时＋＋＝＋＋
＝2＝2.
②若点A，B，M不是椭圆的顶点，
设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OM的方程为y＝－x，
设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，
由
解得x＝，y＝，
∴|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝，
同理|OM|2＝，
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∴＋＋
＝2×＋＝2，
故＋＋＝2为定值．
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