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课时跟踪检测（十七） 圆锥曲线的方程与性质 （小题练）
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2018·广西南宁模拟)双曲线－＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选D 在双曲线－＝1中，a＝5，b＝2，∴其渐近线方程为y＝±x，故选D.
2．(2018·福州模拟)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为.若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D．y2－＝1
解析：选C 由题意可知，OM为Rt△MF1F2斜边上的中线，所以|OM|＝|F1F2|＝c.由M到原点的距离为，得c＝，又e＝＝，所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝3－1＝2.故双曲线C的方程为x2－＝1.故选C.
3．已知椭圆C的方程为＋＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )
A．2 B．2
C．8 D．2
解析：选B 根据已知条件得c＝，则点在椭圆＋＝1(m>0)上，∴＋＝1，可得m＝2.
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l.若射线y＝2(x－1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，则＝( )
A. B．2
C. D．5
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解析：选C 由题意，知抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，设准线l：x＝－1与x轴的交点为F1.过点P作直线l的垂线，垂足为P1(图略)，由得点Q的坐标为(－1，－4)，所以|FQ|＝2.又|PF|＝|PP1|，所以＝＝＝＝，故选C.
5．(2018·湘东五校联考)设F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P，Q，若＝3，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 不妨设F(－c,0)，过F作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y＝(x＋c)，与y＝－x联立可得xQ＝－，与y＝x联立可得xP＝，∵ ＝3，∴＋c＝3，∴a2c2＝(c2－2a2)·(2c2－3a2)，两边同时除以a4得，e4－4e2＋3＝0，∵e>1，∴e＝.故选C.
6．(2019届高三·山西八校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A 法一：易知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得＝2，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.
法二：易知双曲线的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ>0)，即－＝1，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.
7.过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C
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于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若0)的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2
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为直径的圆x2＋y2＝c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP＝c，即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的方程为y＝x＋b，整理得bx－ay＋ab＝0，点O到直线AB的距离d＝＝c，两边同时平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，两边同时除以a4，得2＋－1＝0，可得＝，则e2＝＝＝1－＝1－＝，故选B.
2.(2018·益阳、湘潭联考)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C. D.
解析：选C 法一：如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，解得y1＝2，所以A(3,2)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
法二：同法一得抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
3．(2018·长郡中学模拟)已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程为( )
A．y＝±x＋1 B．y＝±x＋1
C．y＝±x＋1 D．y＝±x＋1
解析：选B 依题意，设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．则由消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，则由此解得k＝±，即直线
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l的方程为y＝±x＋1，故选B.
4．(2018·齐鲁名校联考)已知双曲线C过点A(2，)，渐近线为y＝±x，抛物线M的焦点与双曲线C的右焦点F重合，Q是抛物线上的点P在直线x＝－4上的射影，点B(4,7)，则|BP|＋|PQ|的最小值为( )
A．6 B．5
C．－1＋5 D．1＋5
解析：选D 由题意，双曲线C的渐近线为y＝±x，故可设双曲线C的方程为2－2＝λ(λ≠0)，即－＝λ(λ≠0)．又点A(2，)在双曲线上，所以－＝λ，解得λ＝1，故双曲线C的方程
为－＝1，其右焦点为F(3,0)，所以抛物线M的方程
为y2＝12x.如图，作出抛物线M，其准线为x＝－3，显然点B在抛物线的上方．设PQ与直线x＝－3交于点H，连接PF，则由抛物线的定义可得|PH|＝|PF|，所以|PQ|＝|PH|＋|QH|＝|PF|＋1，故|BP|＋|PQ|＝|BP|＋|PF|＋1，显然，当P为线段BF与抛物线的交点时，|BP|＋|PQ|取得最小值，且最小值为|BF|＋1＝＋1＝5＋1.所以|BP|＋|PQ|的最小值为1＋5.故选D.
5．(2018·沈阳模拟)已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是____________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，
又点A，B在抛物线y2＝4x上，
所以两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则＝＝2，
即直线AB的斜率k＝2，
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
答案：2x－y－1＝0
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则·的最小值的取值范围是________．
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解析：设P(m，n)，则－＝1，
即m2＝a2.
又F1(－1,0)，F2(1,0)，
则＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)，
·＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1
＝n2＋a2－1≥a2－1，
当且仅当n＝0时取等号，
所以·的最小值为a2－1.
由2≤≤4，得≤a≤，
故－≤a2－1≤－，
即·的最小值的取值范围是.
答案：
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