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课时跟踪检测（二十七）坐标系与参数方程
1．(2018·石家庄模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－3＝0.
(1)求直线l的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.
解：(1)由消去t得，y＝2x，
把代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ，
所以直线l的极坐标方程为sin θ＝2cos θ.
(2)因为ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4.
圆C的圆心C(0，－1)到直线l的距离d＝，
所以|AB|＝2＝.
2．(2018·益阳、湘潭模拟)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求直线l的直角坐标方程；
(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)由ρcos＝得ρcos θcos－ρsin θsin＝，即ρcos θ－ρsin θ＝，
又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
∴直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0.
(2)由(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，
∵P(1,0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为(t为参数)，
将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4t－12＝0，
∴t1·t2＝－，
故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝.
3．(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C
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2的方程为y＝x，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．
解：(1)曲线C1的普通方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，
即x2＋y2－2x－4y＋3＝0，则曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.
∵直线C2的方程为y＝x，∴直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，
将θ＝(ρ∈R)代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.
4．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数，t>0)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos＝.
(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；
(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．
解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos＝，
即ρcos θ＋ρsin θ＝2，
所以直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
因为(α为参数，t>0)，
所以曲线C的普通方程为＋y2＝1(t>0)，
由消去x得，(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0，
所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)0，
解得00，得cos2α>，
由根与系数的关系，得t1＋t2＝－4cos α，t1t2＝3.
不妨令|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，所以|PQ|＝|t1－t2|，
因为|PQ|2＝|AP|·|AQ|，所以(t1－t2)2＝|t1|·|t2|，
则(t1＋t2)2＝5t1t2，得(－4cos α)2＝5×3，
解得cos2α＝，满足cos2α>，
所以sin2α＝，tan2α＝，
所以k＝tan α＝±.
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7．(2019届高三·湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.
(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．
解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，
ρsin2θ＝2cos θ，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.
(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，
得t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝，t1t2＝，
根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，得α＝或α＝.
又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝.
8．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.
l与⊙O交于两点需满足
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