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课时跟踪检测（十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（大题练）
A卷——大题保分练
1．(2018·成都模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
∴Δ＝16(4k2＋1－m2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝.
∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴·＝0.
∵·＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，
∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，
整理，得5m2－2m－3＝0，
解得m＝－或m＝1(舍去)．
∴直线l的方程为y＝kx－.
易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．
故直线l过定点，且该定点的坐标为.
2．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
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(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，
即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
3.(2018·贵阳模拟)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，若AB∥OP，且|AB|＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知Q是C上不同于长轴端点的任意一点，在x轴上是否存在一点D，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为－，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．
解：(1)由题意得A(－a,0)，B(0，b)，可设P(c，t)(t>0)，
∴＋＝1，得t＝，即P，
由AB∥OP得＝，即b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，①
又|AB|＝2，∴a2＋b2＝12，②
由①②得a2＝8，b2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在D(m,0)，使得直线QA与QD的斜率乘积恒为－，设Q(x0，y0)(y0≠0)，则
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eq \f(x\o\al(2,0),8)＋＝1，③
∵kQA·kQD＝－，A(－2，0)，
∴·＝－(x0≠m)，④
由③④得(m－2)x0＋2m－8＝0，
即解得m＝2，
∴存在点D(2，0)，使得kQA·kQD＝－.
4．(2018·昆明模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，P是椭圆C上的点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设＝＋，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值．
解：(1)由题意知2c＝4，即c＝2，
则椭圆C的方程为＋＝1，
因为点P在椭圆C上，
所以＋＝1，解得a2＝5或a2＝(舍去)，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2且x1＋x2≠0，由＋＝，得D(x1＋x2，y1＋y2)，
所以直线AB的斜率kAB＝，直线OD的斜率kOD＝，
由得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即·＝－，所以kAB·kOD＝－.
故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值－.
B卷——深化提能练
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1．(2018·安徽江南十校联考)在平面直角坐标系中，直线x－y＋m＝0不过原点，且与椭圆＋＝1有两个不同的公共点A，B.
(1)求实数m的取值所组成的集合M；
(2)是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补？若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为直线x－y＋m＝0不过原点，所以m≠0.将x－y＋m＝0与＋＝1联立，消去y，得4x2＋2mx＋m2－4＝0.
因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以Δ＝8m2－16(m2－4)>0，所以－20)的右焦点F，抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为D，K，E.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l交y轴于点M，且＝λ1，＝λ2，当m变化时，证明：λ1＋λ2为定值；
(3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．
解：(1)∵直线x＝my＋1过椭圆的右焦点，
∴右焦点F(1,0)，c＝1，即c2＝1.
∵x2＝4y的焦点(0，)为椭圆C的上顶点，
∴b＝，即b2＝3，a2＝b2＋c2＝4，
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∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意知m≠0，由
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.显然Δ>0恒成立，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.
∵＝λ1，＝λ2，M，
∴＝λ1(1－x1，－y1)，＝λ2(1－x2，－y2)，∴λ1＝－1－，λ2＝－1－，
∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－÷＝－.
综上所述，当m变化时，λ1＋λ2为定值－.
(3)当m＝0时，直线l⊥x轴，则四边形ABED为矩形，易知AE与BD相交于点N，则若当m变化时，直线AE与BD相交于定点，则定点必为N，证明如下：
＝＝，易知E(4，y2)，则＝.
∵y2－(－y1)＝(y1＋y2)－my1y2＝－m＝0，
∴∥，即A，N，E三点共线．
同理可得B，N，D三点共线．
则猜想成立，故当m变化时，直线AE与BD相交于定点N.
3．(2018·贵州六校联考)已知点M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．
解：(1)在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin 60°＝，得|MF1||MF2|＝.
由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos 60°＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|(1＋cos 60°)，
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从而2a＝|MF1|＋|MF2|＝4，
即a＝2，从而b＝2，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，
由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
从而k1＋k2＝＋
＝
＝2k－(k－4)＝4.
当直线l的斜率不存在时，可取A，B，得k1＋k2＝4.
综上，恒有k1＋k2＝4.
4．(2019届高三·湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，已知P(2,3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
则b＝2.由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
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①设直线AB的方程为y＝x＋t，
代入＋＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0，
由Δ>0，解得－4
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