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课时跟踪检测（十八） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（大题练）
A卷——大题保分练
1．(2018·长春模拟)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过E.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝λ，且2≤λ0)，
联立方程整理得y2－y－9＝0，Δ＝＋144>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，
又＝λ，所以y1＝－λy2，所以y1y2＝(y1＋y2)2，
则＝，λ＋－2＝，
因为2≤λ0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为.
(1)求抛物线E的方程；
(2)不过原点O的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点M为圆C上一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程．
解：(1)x2＋y2＋2x－2y＋1＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，则圆心C的坐标为(－1,1)．
∵F，∴|CF|＝ ＝，
解得p＝6.
∴抛物线E的方程为y2＝12x.
(2)显然直线l的斜率非零，设直线l的方程为x＝my＋t(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y2－12my－12t＝0，
Δ＝(－12m)2＋48t＝48(3m2＋t)>0，
∴y1＋y2＝12m，y1y2＝－12t，
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由OA⊥OB，得·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，
即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0，
整理可得t2－12t＝0，∵t≠0，∴t＝12，满足Δ>0，符合题意．
∴直线l的方程为x＝my＋12，故直线l过定点P(12,0)．
∴当CP⊥l，即线段MP经过圆心C(－1,1)时，动点M到动直线l的距离取得最大值，
此时kCP＝＝－，得m＝，
此时直线l的方程为x＝y＋12，即13x－y－156＝0.
4．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．
(1)证明：k0，即2k2－m2＋1>0，
因为直线l与“相关圆”E相切，
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所以＝＝，
即3m2＝2＋2k2，
所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2
＝＝0，
所以⊥，所以∠AOB＝.
综上，∠AOB＝，为定值．
3．已知椭圆C1：＋＝1(a>b≥1)的离心率为，其右焦点到直线2ax＋by－＝0的距离为.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)过点P的直线l交椭圆C1于A，B两点．证明：以AB为直径的圆恒过定点．
解：(1)由题意，e＝＝，e2＝＝，a2＝2b2.
所以a＝b，c＝b.
又＝，a>b≥1，所以b＝1，a2＝2，
故椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)证明：当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋2＝，
由可得
由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0,1)．
下证Q(0,1)符合题意．
当AB不垂直于坐标轴时，设直线AB方程为y＝kx－，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1＋2k2)x2－kx－＝0，
由根与系数的关系得，x1＋x2＝，
x1x2＝－，
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∴·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)
＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)
＝x1x2＋
＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋
＝(1＋k2)－k·＋
＝
＝0，
故⊥，即Q(0,1)在以AB为直径的圆上．
综上，以AB为直径的圆恒过定点(0,1)．
4．(2018·沈阳模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．
(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；
(2)若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；
(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．
解：(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16.所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由得x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
所以x1＋x2＝0，x1x2＝，
由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，
因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，
所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2
＝x1x2＋9＝0.
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即x1x2＝－8，所以有＝－8，
结合b2＋9＝a2，解得a2＝12，
所以离心率e＝.
(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，
由题可知A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，
所以k1k2＝，
又＝＝－，
即k2＝－，
由－2
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