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课时跟踪检测（七）数 列 （大题练）
A卷——大题保分练
1．(2018·陕西模拟)已知在递增等差数列{an}中，a1＝2，a3是a1和a9的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，求S100的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.∵a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，即(2＋2d)2＝2(2＋8d)，解得d＝0(舍)或d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n.
(2)bn＝＝＝.
∴S100＝b1＋b2＋…＋b100
＝×
＝×
＝.
2．(2018·兰州诊断性测试)在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题意有解得d＝1或d＝0(舍去)，∴an＝1＋(n－1)＝n.
(2)由(1)得an＝n，∴bn＝2n，
∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴Tn＝＝2n＋1－2.
3．(2018·北京调研)已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝2an，设bn－2＝3log2an(n∈N*)．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{|an－bn|}的前n项和Sn.
解：(1)因为an＋1＝2an，a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．
所以an＝2n－1.
又因为bn－2＝3log2an(n∈N*)，
所以bn＝3log22n－1＋2＝3(n－1)＋2＝3n－1.
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(2)因为数列{an}中的项为1,2,4,8,16，…，2n－1，数列{bn}中的项为2,5,8,11,14，…，3n－1，
所以①当n≤4时，|an－bn|＝bn－an＝3n－1－2n－1，
所以Sn＝－
＝－2n.
②当n>4时，|an－bn|＝an－bn＝2n－1－(3n－1)，
所以Sn＝S4＋(a5＋a6＋…＋an)－(b5＋b6＋…＋bn)
＝2n－，
综合①②得Sn＝
4．(2018·厦门质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，n∈N*.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设T2n＝－＋－＋…＋－，求T2n.
解：(1)证明：由an＋1＝，得＝＝＋，所以－＝.又a1＝1，则＝1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
(2)设bn＝－＝，
由(1)得，数列是公差为的等差数列，
所以－＝－，即bn＝＝－×，
所以bn＋1－bn＝－＝－×＝－.
又b1＝－×＝－×＝－，
所以数列{bn}是首项为－，公差为－的等差数列，
所以T2n＝b1＋b2＋…＋bn＝－n＋×＝－(2n2＋3n)．
5．(2018·洛阳模拟)已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，满足Sn＝a1(an－1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
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(2)设数列{bn}满足anbn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn1，且10Sn＝(2an＋1)(an＋2)，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项an；
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(2)是否存在m，n，k∈N*，使得2(am＋an)＝ak成立？若存在，写出一组符合条件的m，n，k的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由10a1＝(2a1＋1)(a1＋2)，得2a－5a1＋2＝0，解得a1＝2或a1＝.
又a1>1，所以a1＝2.
因为10Sn＝(2an＋1)(an＋2)，
所以10Sn＝2a＋5an＋2，
故10an＋1＝10Sn＋1－10Sn＝2a＋5an＋1＋2－2a－5an－2，
整理，得2(a－a)－5(an＋1＋an)＝0，
即(an＋1＋an)[2(an＋1－an)－5]＝0.
因为{an}是递增数列且a1＝2，
所以an＋1＋an≠0，因此an＋1－an＝.
所以数列{an}是以2为首项，为公差的等差数列，
所以an＝2＋(n－1)＝(5n－1)．
(2)满足条件的正整数m，n，k不存在，理由如下：
假设存在m，n，k∈N*，使得2(am＋an)＝ak，
则5m－1＋5n－1＝(5k－1)，
整理，得2m＋2n－k＝，(*)
显然，(*)式左边为整数，所以(*)式不成立．
故满足条件的正整数m，n，k不存在．
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