2.6 菱形
2.6.1 菱形的性质
知识点 1 菱形的定义
1.如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，添加一个条件使四边形 ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是
__________(写出一个即可).
知识点 2 菱形的性质
2.如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠DAB＝60°，则对角线 BD 的长是( )
A.1 B. C.2 D.2
3.一个菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的边长是( )
A.10 B.8 C.6 D.5
4.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为 AD 边的中点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OH 的长等
于( )
A.3.5 B.4 C.7 D.14
5.若一个菱形的周长为 20 cm,则它的边长是__________cm.
6.如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=5，AO=4，求 BD 的长.
3 3知识点 3 菱形的面积计算
7.如图，菱形 ABCD 的周长是 20，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 BD=6，则菱形 ABCD 的面积是( )
A.6 B.12 C.24 D.48
8.如图，已知 AC，BD 是菱形 ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( )
A.△ABD 与△ABC 的周长相等
B.△ABD 与△ABC 的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
9.如果菱形的两条对角线的长为 a 和 b，且 a，b 满足(a-1)2+ =0，那么菱形的面积等于__________.
10.如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点 E，F，连接 EF，则△AEF 的面积
是__________.
11.如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，DH⊥AB 于 H，连接 OH，求证：∠DHO=∠DCO.
4b −参考答案
1.答案不唯一，如 AB=AD 2.C 3.D 4.A 5.5
6.解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，且 BO=DO.
在 Rt△AOB 中，∵AB=5，AO=4，
由勾股定理得 BO=3.
∴BD=6.
7.C 8.B 9.2 10.3
11.证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°.
∵DH⊥AB 于 H，
∴∠DHB=90°.
在 Rt△DHB 中，OH=OB，
∴∠OHB=∠OBH.
又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC.
∴∠OHB=∠ODC.
在 Rt△COD 中，∠ODC+∠OCD=90°，
在 Rt△DHB 中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO.
32.6.2 菱形的判定
知识点 1 四条边都相等的四边形是菱形
1.如图，四边形 ABCD 内有一点 E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠AED 的大小是( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
2.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是__________，学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是 6 m 和 8 m，
则这个花圃的面积为__________.
3.如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BD，CD，AC 的中点，AD=BC，求证：四边形 EFGH 是菱形.
知识点 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，连接 AD，下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的条件是( )
A.AB＝BC B.AC＝BC C.∠B＝60° D.∠ACB＝60°
5.如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：连接 AC，作 AC 的垂直平分线 MN 分别交 AD，AC，BC 于 M，O，N，连接 AN，CM，则四边形 ANCM 是菱形.
乙：分别作∠A，∠B 的平分线 AE，BF，分别交 BC，AD 于 E，F，连接 EF，则四边形 ABEF 是菱形.
根据两人的作法可判断( ) A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
6.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形 ABCD 是菱形，那
么所添加的条件可以是__________________(写出一个即可).
7.如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，BC=DC，AC、BD 相交于点 O，点 E 在 AO 上，且 OE=OC.
(1)求证：∠1=∠2；
(2)连接 BE，DE，判断四边形 BCDE 的形状，并说明理由.
8.如图，在三角形 ABC 中，AD 平分∠BAC，将△ABC 折叠，使点 A 与点 D 重合，展开后折痕分别交 AB，AC 于点
E，F，连接 DE，DF.求证：四边形 AEDF 是菱形.
参考答案
1.B 2.菱形 24 m2
3.证明：∵E，F 分别是 AB，BD 的中点，
∴EF= AD.
同理可得：GH= AD，GF= BC，HE= BC.
又 AD=BC，∴EF=GF=GH=HE.
∴四边形 EFGH 是菱形.
4.B 5.C 6.答案不唯一，如 AB=AD 或 AB=BC 或 AC⊥BD 等
7.(1)证明：∵在△ADC 和△ABC 中，AD＝AB，AC=AC，DC=BC，
∴△ADC≌△ABC(SSS).
∴∠1=∠2.
(2)解：四边形 BCDE 是菱形.
理由：∵DC=BC，∠1=∠2，
∴AC 垂直平分 BD.
又∵OE=OC，
∴四边形 DEBC 是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴四边形 DEBC 是菱形.
8.证明：连接 EF，交 AD 于点 O，
∵AD 平分∠BAC，∴∠EAO=∠FAO.
∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°.
在△AEO 和△AFO 中，∠EAO=∠FAO，AO=AO，∠AOE=∠AOF，
∴△AEO≌△AFO(ASA).∴EO=FO.
∵A 点与 D 点重合，
∴AO=DO.
∴EF，AD 相互平分，
∴四边形 AEDF 是平行四边形.
1
2
1
2
1
2
1
2又 EF⊥AD，
∴四边形 AEDF 为菱形.
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