2 频率的稳定性
【教学目标】
1.知识与技能
（1）理解概率的定义；
（2）理解用统计来估计事件的概率及频率与概率的关系。
2.过程与方法
通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法。。
3.情感态度和价值观
进一步体会数学就在我们身边，发展学生的应用数学能力。
【教学重点】
通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率
【教学难点】
理解概率与频率的关系，能够正确计算概率。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件、一元硬币若干。
【课时安排】
1 课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】上节课的学习中，我们通过掷图钉的小活动，理解了在实验次数很大时，频率趋于稳
定的特点。大家知道频率稳定性最早是由谁提出的吗？
课件展示图片。
【过渡】就是由这个人提出的，频率的稳定性是由瑞士数学家雅布·伯努利（1654－1705）最
早阐明的，他还提出了由频率可以估计事件发生的可能性大小。
【过渡】那么该如何通过频率估计事件发生的可能性大小呢？今天我们就来学习一下这个问题。
首先，我们同样先进行一个小游戏。
二、新课教学
1．概率
【过渡】硬币是我们大家经常能看到的，大家有时候也会玩一些抛硬币的游戏，抛掷一枚均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况：正面朝下和正面朝上。
那大家有没有想过，掷一枚硬币，出现两种情况的可能性谁大谁小呢？现在我们就用刚刚老师发
给大家的硬币，进行一下探究吧。
（学生两辆一组进行实验）
【过渡】按照课本做一做的内容。同桌两人做 20 次掷硬币的游戏，并将记录记载在下表中。
（老师巡视指导）
【过渡】我看大家都已经进行完了，现在，我来找两个同学帮忙，像上节课一样，将全班同学的
数据统计出来，然后我们汇总入表中。
【过渡】之后，我们画出折线图。
（学生自己根据数据画出折线图）
课件展示提前准备好的图。
【过渡】大家看一下，你们手中的图和老师展示的图一样吗？
（学生回答）
【过渡】观察上面的折线统计图，你发现了什么规律？
（学生回答）
【过渡】刚刚大家都总结了规律，从图中，我们能够清楚的看出，当试验次数很大时, 正面朝上
的频率折线差不多稳定在 0.5 水平直线上。
【过渡】大家还记得上节课我们掷图钉时得到的最后的结论吗？与这个一样，最后也是频率稳定
在某一直线左右。
【过渡】其实，历史上有很多科学家都做了这样的掷硬币的实验，大家一起来看一下他们得到的
结果，与我们得到的一致吗？
（学生讨论回答）
【过渡】我们来分析一下这些数据，首先，这些实验的实验次数都是一个很大的数值，其次，我
们看到，最后，这些数据得到的频率基本上都是在 0.5 左右的，相差均不大。这些数据，能够支持我
们刚刚发现的规律吗？
（学生回答）
【过渡】结合我们上节课的图钉实验，以及现在的这些实验数据，我们得出这样的结论：
在实验次数很大时事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。
【过渡】值得我们注意的是，频率越大，事件发生的可能性越大。
【过渡】在数学中，我们通常就用这个常数来表示事件 A 发生的可能性大小，我们将其称为概率：
我们把这个刻画事件 A 发生的可能性大小的数值，称为事件 A 发生的概率，记为 P(A)。一般的，大量重复的实验中，我们常用不确定事件 A 发生的频率来估计事件 A 发生的概率。
【过渡】从概率的定义中，我们知道，大量重复实验下，得到的事件 A 的频率即为其发生的概率，
那么根据我们上节课学习的内容，大家知道如何计算概率吗？
（学生回答）
【过渡】知道了什么是概率，大家来思考一下，掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和正面朝下的
概率分别是多少？
【过渡】我们可以使用自己的实验数据，也可以选择科学家的数据表中选择一组数据进行计算。
（学生回答）
【过渡】课件展示是以皮尔逊的一组数据为例，计算出了概率。
【过渡】关于正面朝下的概率，我们知道，硬币落地之后，只能出现两种情况，这两种情况的概
率之和即为 1，因此，正面朝下的概率就很容易计算了。
【过渡】既然了解了概率的定义，那么我们还要一个问题，事件 A 发生的概率 P(A)的取值范围
是什么？（2）必然事件发生的概率是多少？（3）不可能事件发生的概率是多少？
【过渡】对于一件一定会发生的事件，它只有这一种情况，所以它的概率是 1，而不可能发生的
事件概率就是 0.不确定事件的概率则位于 0 和 1 之间，大家都回答对了吗？
【学以致用】1、做重复试验，抛掷同一枚啤酒瓶盖，经过统计得“凸面朝上”的频率约为
0.44，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为（ B ）
A．22% B．44% C．50% D．56%
2、下列事件发生的可能性是 0 的是（ C ）
A．郑叔叔买了一份彩票中奖了
B．明天早上太阳从东方升起
C．2009 年 2 月有 29 天
D．下次考试小红得 100 分
3、口袋中有 9 个球，其中 4 个红球，3 个蓝球，2 个白球，在下列事件中，发生的可能性为 1 的
是（ C ）
A．从口袋中拿一个球恰为红球
B．从口袋中拿出 2 个球都是白球
C．拿出 6 个球中至少有一个球是红球
D．从口袋中拿出的球恰为 3 红 2 白
4、把标有号码 1、2、3、…、10 的 10 个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号
码为小于 7 的偶数的概率是 3/10 。5、小颖有 20 张大小相同的卡片，上面写有 1～20 这 20 个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，
每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：
（1）完成下表；
（2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？
（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是 3 的倍数的概率估计是多少？
（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是 3 的倍数的概率应该是多少？
解：（1）
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
3 的倍数的频数 5 13 17 26 32 36 39 49 55 61
3 的倍数的频率 0.25 0.33 0.28 0.33 0.32 0.30 0.28 0.31 0.31 0.3
1
（2）观察可知频率稳定在 0.31 左右；
（3）大量反复试验下频率稳定值即概率，故从盒中摸出一张卡片是 3 的倍数的概率估计是
0.31；
（4） 从盒中摸出一张卡片是 3 的倍数的概率应该是为=0.3 。
【达标检测】1、某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了
如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ D ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是 4
2、甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一个结果出现的频率，绘制了如
下的表格，则符合这一结果的实验可能是（C ）
实验次数 100 200 300 500 800 1200
频率 0.430 0.360 0.320 0.328 0.330 0.329
A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率B．从一个装有 3 个红球和 2 个白球的不透明袋子里任取 1 球，取出红球的概率
C．掷一枚均匀的正方体骰子，出现的点数是 3 的倍数的概率
D．从正方形、正五边形、正六边形中任意取一个图形，是轴对称图形的概率
3.小刚的叔叔是个养植能手，年初他往鱼塘里放养鱼苗 25000 尾，成活率为 80%，鱼成熟后，平
均重量在 1.5 斤以上的鱼为优质鱼．小刚的叔叔为了估计这批鱼的产量和收益，他随机捞出一条鱼，
称出其重量，再放回鱼塘中，如此不断重复上述实验，共捞了 50 次，有 32 条鱼的平均重量在 1.5 斤
以上，若优质鱼的利润为 2 元/斤，则小刚的叔叔所养的这批鱼中在优质鱼上至少可获利多少元？
解：∵共捞了 50 次，有 32 条鱼的平均重量在 1.5 斤以上，
∴池塘中有 1.5 斤以上鱼的概率为= ，
故×25000×80%×2×1.5=38400（元），
则小刚的叔叔所养的这批鱼中在优质鱼上至少可获利 38400 元。
4、某校九年级兴趣小组进行投针实验，在地面上有一组平行线，相邻两条平行线间的距离都为5cm，
将一长为 3cm 的针任意投向这组平行线，下表是他们的实验数据．
（1）计算出针与平行线相交的频率，并完成统计表；
（2）估算出针与平行线相交的频率；
（3）由表中的数据说明：在以上条件下相交于不相交的可能性相同吗？
（4）能否利用列表或树形图法求出针与平行线相交的概率？
解：（1）
投掷的次数 100 600 1000 2500 3500 5000
针 与 线 相 交
次数
48 281 454 861 1371 1901
相交的频率 0.48 0.47 0.45 0.34 0.39 0.38
（2）∵当实验次数为 5000 时，实验频率稳定于概率附近，
∴估计与平行线相交的概频率约为 0.38；
（3）根据表中实验频率的变化，说明在题设的前提下，针与平行线相交与不相交的可能性不完
全相同；
（4）由于相交与不相交的可能性不一定相同，因此很难用列表法和画树形图法求针与平行线相
交的概率．
【板书设计】
频率与概率：
在实验次数很大时事件发生的频率，都会在一个常数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。我们把这个刻画事件 A 发生的可能性大小的数值，称为事件 A 发生的概率，记为 P(A)。
【教学反思】
通过一系列精心设计把它改成学生所经历的情境引入课题，激发了学生的学习兴趣。在教学中引
导学生进行“猜想一实验一分析一交流一发现一应用”， 学生在操作、思考、交流中不断地发现问
题，解决问题，极大地调动了学生的学习的积极性，让学生尝到了成功的喜悦，激发了学生的发现思
维的火花，经历了一番前人发现这个结果的“浓缩”过程，从而培养了学生独立探究和解决问题的能
力。
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