课时训练(二十八) 图形的平移、旋转、轴对称
(限时:45分钟)
|夯实基础|
1.[2017·郴州] 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
图K28-1
2.下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是 ( )
图K28-2
3.如图K28-3,A,B的坐标分别为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为 ( )
图K28-3
A.2 B.3
C.4 D.5
4.[2018·嘉兴] 将一张正方形纸片按如图K28-4所示的步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,则展开铺平后的图形是 ( )
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图K28-4
图K28-5
5.[2018·金华、丽水] 如图K28-6,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数是( )
图K28-6
A.55° B.60° C.65° D.70°
6.[2017·聊城] 如图K28-7,将△ABC绕点C顺时针旋转,使点B落在AB边上点B'处,此时,点A的对应点A'恰好落在BC的延长线上,下列结论错误的是 ( )
图K28-7
A.∠BCB'=∠ACA' B.∠ACB=2∠B
C.∠B'CA=∠B'AC D.B'C平分∠BB'A'
7.[2018·内江] 如图K28-8,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为 ( )
图K28-8
A.31° B.28° C.62° D.56°
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8.如图K28-9,把三角板的斜边紧靠直尺平移,一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”,则顶点C平移的距离CC'= .
图K28-9
9.[2017·北京] 如图K28-10,在平面直角坐标系xOy中,△AOB可以看作是由△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由△OCD得到△AOB的过程: .
图K28-10
10.将等边三角形CBA绕点C顺时针旋转∠α得到三角形CB'A',使得B,C,A'三点在同一直线上,如图K28-11所示,则∠α的大小是 .
图K28-11
11.如图K28-12,已知正方形ABCD的边长为3,E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.若AE=1,则FM的长为 .
图K28-12
12.[2017·安徽] 如图K28-13,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC和△DEF(顶点为网格线的交点),以及过格点的直线l.
(1)将△ABC向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形;
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(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形;
(3)填空:∠C+∠E= °.
图K28-13
13.如图K28-14,将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转角α到△A1BC1的位置,AB与A1C1相交于点D,AC分别与A1C1,BC1交于点E,F.
(1)求证:△BCF≌△BA1D;
(2)当∠C=α时,判定四边形A1BCE的形状并说明理由.
图K28-14
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|拓展提升|
14.[2016·张家界] 如图K28-15,将矩形ABCD沿GH折叠,点C落在Q处,点D落在E处,EQ与BC相交于F.若AD=8,AB=6,AE=4,则△EBF的周长是 .
图K28-15
15.[2018·益阳] 如图K28-16①,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.
(1)求证:BE=CE;
(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图②).
①求证:△BEM≌△CEN;
②若AB=2,求△BMN面积的最大值;
③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图③),求sin∠EBG的值.
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图K28-16
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参考答案
1.B 2.C 3.A
4.A [解析] 把剪后的图形展开,如图所示,本质是作出它的轴对称图形.故正确答案为A.
5.C [解析] 将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC,则∠ECD=∠ACB=20°,∠ACE=90°,EC=AC,∴∠E=45°,
∴∠ADC=65°.故选D.
6.C [解析] 由旋转的性质可知∠BCB'=∠ACA',BC=B'C,∠B=∠CB'A',∠B'A'C=∠B'AC,∠ACB=∠A'CB',由BC=B'C可得,∠B=∠CB'B,∴∠CB'B=∠CB'A',∴B'C平分∠BB'A'.又∠A'CB'=∠B+∠CB'B=2∠B,∴∠ACB=2∠B.∴C选项错误.
7.D [解析] ∵四边形ABCD为矩形,∴∠ADC=90°,∵∠BDC=62°,∴∠ADB=90°-62°=28°,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,根据题意可知∠EBD=∠CBD,∴∠ADB=∠EBD=28°,∴∠DFE=∠ADB+∠EBD=56°.故选择D.
8.5
9.将△COD绕点C顺时针旋转90°,再向左平移2个单位长度得到△AOB(答案不唯一)
10.120° [解析] ∵三角形ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵等边三角形CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB'A',使得B,C,A'三点在同一直线上,
∴∠BCA'=180°,
∴∠α=180°-60°=120°.
11.52 [解析] ∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM,
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,DE=DM,∠EDM=90°,∴F,C,M三点共线,∠EDF+∠FDM=90°.
∵∠EDF=45°,
∴∠FDM=∠EDF=45°.
在△DEF和△DMF中,
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DF=DF,∠EDF=∠FDM,DE=DM,
∴△DEF≌△DMF(SAS),
∴EF=MF.
设EF=MF=x,
∵AE=CM=1,且BC=3,
∴BM=BC+CM=3+1=4,
∴BF=BM-MF=4-x.
在Rt△EBF中,
EB=AB-AE=3-1=2,
由勾股定理得EB2+BF2=EF2,
即22+(4-x)2=x2,
解得x=52,∴FM=52.
12.解:(1)(2)见下图.
(3)45
13.解:(1)证明:∵△ABC是等腰三角形,
∴AB=BC,∠A=∠C.
∵将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转角α到△A1BC1的位置,
∴A1B=AB=BC,∠A1=∠A=∠C,∠A1BD=∠CBC1.
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在△BA1D与△BCF中,
∠A1=∠C,A1B=BC,∠A1BD=∠CBF,
∴△BCF≌△BA1D(ASA).
(2)四边形A1BCE是菱形.理由如下:
∵将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转角α到△A1BC1的位置,
∴∠A1=∠A.
∵∠ADE=∠A1DB,∴∠AED=∠A1BD=α,
∴∠DEC=180°-α.
∵∠C=∠A=α,
∴∠A1=∠A=α,
∴∠A1=∠C,∠A1BC=360°-∠A1-∠C-∠A1EC=180°-α,
∴∠A1BC=∠A1EC,
∴四边形A1BCE是平行四边形.
又A1B=BC,
∴四边形A1BCE是菱形.
14.8 [解析] 设AH=a,则DH=AD-AH=8-a,在Rt△AEH中,∠EAH=90°,AE=4,AH=a,EH=DH=8-a,由EH2=AE2+AH2,得(8-a)2=42+a2,
解得a=3.
∵∠BFE+∠BEF=90°,∠BEF+∠AEH=90°,
∴∠BFE=∠AEH.
又∵∠EAH=∠FBE=90°,
∴△EBF∽△HAE,
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∴C△EBFC△HAE=BEAH=AB-AEAH=23.
∵C△HAE=AE+EH+AH=AE+AD=12,
∴C△EBF=23C△HAE=8.
15.[解析] (1)利用矩形的性质和中点的定义证明△ABE≌△DCE即可;(2)①用ASA证明全等;②设BM=x,列出△BMN的面积与x的函数关系式,利用函数求最大值;③利用△EBG的面积不变求sin∠EBG.
解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=DC.
∵E为AD中点,∴AE=DE,
∴△ABE≌△DCE,∴BE=CE.
(2)证明:①∵△ABE≌△DCE,
∴∠AEB=∠DEC.
∵∠BEC=90°,∴∠AEB=∠DEC=45°,
∴∠ABE=∠ECB=45°.
∵∠BEM+∠BEN=∠CEN+∠BEN=90°,
∴∠BEM=∠CEN.
∵BE=CE,∴△BEM≌△CEN.
②由①可知△ABE和△DEC都是等腰直角三角形,E为AD的中点,
∴BC=AD=2AB=4.
设BM=CN=x,则BN=4-x,0≤x≤2.
S△MBN=12BM·BN=12x(4-x)=-12x2+2x=-12(x-2)2+2,
∴当x=2时,△BMN的面积最大,最大值为2.
③∵BC∥AD,∠FEG=90°,
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∴∠BNG=∠FEG=90°.
∵∠F=30°,∴∠NBG=∠F=30°.
由①可知∠EBN=45°,
设NG=m,则BG=2m,BN=3m,EN=3m,
∴BE=3m·2=6m,
∴S△EBG=12EB·sin∠EBG·BG=12EG·BN,
∴sin∠EBG=EG·BNEB·BG=(3m+m)·3m6m·2m=6+24.
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