课时训练(二十七) 与圆有关的计算
(限时:45分钟)
|夯实基础|
1.[2017·天门] 一个扇形的弧长是10π cm,面积是60π cm2,则此扇形的圆心角的度数是 ( )
A.300° B.150°
C.120° D.75°
2.120°的圆心角所对的弧长是6π,则此弧所在圆的半径是 ( )
A.3 B.4 C.9 D.18
3.若圆内接正三角形的边心距为1,则这个三角形的面积为 ( )
A.23 B.33 C.43 D.63
4.[2018·淄博] 如图K27-1,☉O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为 ( )
图K27-1
A.2π B.8π3
C.3π4 D.4π3
5.[2018·凉山州] 如图K27-2,AB与☉O相切于点C,OA=OB,☉O的直径为6 cm,AB=63 cm,则阴影部分的面积为 ( )
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图K27-2
A.(93-π)cm2 B.(93-2π)cm2
C.(93-3π)cm2 D.(93-4π)cm2
6.[2017·温州] 已知扇形的面积为3π,圆心角为120°,则它的半径为 .
7.[2018·永州] 如图K27-3,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),以点O为旋转中心,将点A逆时针旋转到点B的位置,则弧AB的长为 .
图K27-3
8.[2018·白银] 如图K27-4,分别以等边三角形的每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为a,则勒洛三角形的周长为 .
图K27-4
9.关注数学文化 [2017·岳阳] 我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,认为圆内接正多边形的边数无限增加时,周长就越接近圆的周长,由此求得了圆周率π的近似值.设半径为r的圆内接正n边形的周长为L,圆的直径为d.如图K27-5所示,当n=6时,π≈Ld=6r2r=3,那么当n=12时,π≈Ld= .(结果精确到0.01,参考数据:sin15°=cos75°≈0.259)
图K27-5
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10.[2018·衡阳] 如图K27-6,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交☉O于点D,过点D作DE⊥AC,分别交AC,AB的延长线于点E,F.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)若AC=4,CE=2,求BD的长.(结果保留π)
图K27-6
11.[2018·达州] 已知,如图K27-7,以等边三角形ABC的边BC为直径作☉O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)求证:DF是☉O的切线;
(2)若等边三角形ABC的边长为8,求由DE,DF,EF围成的阴影部分的面积.
图K27-7
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|拓展提升|
12.[2018·吉林] 如图K27-8是由边长为1的小正方形组成的8×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点,点A,B,C,D均在格点上,在网格中将点D按下列步骤移动:
第一步,点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1;
第二步,点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2;
第三步,点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.
(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径;
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(2)所画图形是 对称图形;
(3)求所画图形的周长(结果保留π).
图K27-8
13.[2018·贵阳] 如图K27-9,AB为☉O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为点O,P为半圆上任意一点,过P点作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM,PM.
(1)求∠OMP的度数;
(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长.
图K27-9
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参考答案
1.B [解析] 根据S扇形=12lr,求得半径r=12,由弧长公式l=nπr180,得10π=nπ·12180,解得n=150.
2.C [解析] 设圆的半径为r,根据弧长公式,得6π=120πr180,解得r=9
. 3.B [解析] 如图,过点A作AD⊥BC于点D,连接OB,
则AD经过圆心O,∠ODB=90°,OD=1.∵△ABC是等边三角形,∴BD=CD,∠OBD=12∠ABC=30°,∴OA=OB=2OD=2,
∴AD=3,BD=3,∴BC=23,∴△ABC的面积S=12BC·AD=12×23×3=33.
4.D 5.C
6.3 [解析] 设扇形的半径为r,由扇形的面积公式得120πr2360=3π,得r=3.
7.24π [解析] 由点A(1,1),可得OA=12+12=2,点A在第一象限的角平分线上,则∠AOB=45°,再根据弧长公式得,弧AB的长为45×2180π=24π.
8.πa [解析] 每段圆弧的半径等于a,圆心角都等于60°,由弧长公式可求出一段圆弧的长,然后再乘3即可.
9.3.11 [解析] 如图所示,∠AOB=30°,∠AOC=15°.
在直角三角形AOC中,sin15°=ACAO=ACr=0.259,所以AC=0.259r,
AB=2AC=0.518r,L=12AB=6.216r,所以π≈Ld=6.216r2r=3.108≈3.11.
10.解:(1)证明:如图,连接OD,交BC于点G.
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∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠EAB,
∴∠OAD=∠DAE,
∴∠DAE=∠ODA,
∴OD∥AE.
∵DE⊥AE,
∴OD⊥EF,
∴EF是☉O的切线.
(2)∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC∥EF.
又∵OD∥AE,
∴四边形CEDG是平行四边形.
∵DE⊥AE,
∴∠E=90°,
∴四边形CEDG是矩形,
∴DG=CE=2.
∵OD⊥EF,BC∥EF,
∴OG⊥BC,
∴CG=BG.
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∵OA=OB,
∴OG=12AC=2,
∴OB=OD=4,
∴∠BOD=60°,
∴BD的长=60180π×4=43π.
11.解:(1)证明:如图,连接OD,CD.
∵BC是直径,∴∠BDC=90°.
∵△ABC是等边三角形,
∴点D是AB的中点.
∵点O是BC的中点,
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF.
∵OD是半径,
∴DF是☉O的切线.
(2)如图,连接OD,OE,DE.
∵同(1)可知点E是AC的中点,
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∴DE是△ABC的中位线,
∴△ADE是等边三角形.
∵等边三角形ABC的边长为8,
∴等边三角形ADE的边长为4.
∵DF⊥AC,∴EF=2,DF=23.
∴△DEF的面积=12·EF·DF=12×2×23=23.
△ADE的面积=△ODE的面积=43.
扇形ODE的面积=60×π×42360=8π3.
∴阴影部分的面积=△DEF的面积+△ODE的面积-扇形ODE的面积=23+43-83π=63-8π3.
12.解:(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示.
(2)观察图形可知所画图形是轴对称图形.
(3)周长=12×2π×4+14×2π×4×2=8π.
13.解:(1)∵△OPE的内心为M,∴∠MOP=12∠EOP,∠MPO=12∠EPO.
∵PE⊥OC,∴∠PEO=90°,∠EOP+∠EPO=90°,
∴∠MOP+∠MPO=12(∠EOP+∠EPO)=12×90°=45°,
∴∠OMP=180°-45°=135°.
(2)如图所示,连接CM.∵OM=OM,∠COM=∠POM,CO=PO,∴△COM≌△POM.∴∠CMO=∠PMO=135°.
∴点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°的两段圆弧上.
设劣弧CMO所在圆的圆心为O1,∵∠CMO=135°,
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∴弦CO所对的劣弧的圆周角为45°,∴∠CO1O=90°,
在Rt△CO1O中,CO1=sin45°×OC=22×2=2.
当点P在半圆上从点B运动到点C时,内心M所经过的路径为☉O1的劣弧OC.
∴劣弧OC的长=90×π×2180=22π.
同理,当点P在半圆上从点C运动到点A时,内心M所经过的路径为☉O2对应的劣弧OC.
与☉O1的劣弧OC的长度相等.
因此,当点P在半圆上从点B运动到点A时,内心M所经过的路径长为22π+22π=2π.
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