课时训练(二十一) 图形的相似
(限时:45分钟)
|夯实基础|
1.[2017·兰州] 已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是 ( )
A.xy=32 B.x3=2y
C.xy=23 D.x2=y3
2.[2018·永州] 如图K21-1,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为 ( )
图K21-1
A.2 B.4 C.6 D.8
3.[2018·滨州] 在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2).若以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的12后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为 ( )
A.(5,1) B.(4,3) C.(3,4) D.(1,5)
4.[2018·临沂] 如图K21-2,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2 m,测得AB=1.6 m,BC=12.4 m,则建筑物CD的高是 ( )
图K21-2
A.9.3 m B.10.5 m C.12.4 m D.14 m
5.[2018·荆门] 如图K21-3,四边形ABCD为平行四边形,E,F为CD边的两个三等分点,连接AF,BE交于点G,则S△EFG∶
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S△ABG= ( )
图K21-3
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1
6.[2017·枣庄] 如图K21-4,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
图K21-4
图K21-5
7.[2018·北京] 如图K21-6,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为 .
图K21-6
8.关注数学文化 [2018·岳阳] 《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是 步.
9.[2018·江西] 如图K21-7,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.
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图K21-7
10.[2017·宿迁] 如图K21-8,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上.
(1)求证:△BDE∽△CEF;
(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.
图K21-8
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|拓展提升|
11.[2017·随州] 在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE= 时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似.
12.[2018·海南] 已知:如图K21-9①,在▱ABCD中,点E是AB中点,连接DE并延长,交CB的延长线于点F.
(1)求证:△ADE≌△BFE.
(2)如图②,点G是边BC上任意一点(点G不与点B,C重合),连接AG交DF于点H,连接HC,过点A作AK∥HC,交DF于点K.
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①求证:HC=2AK;
②当点G是边BC中点时,恰有HD=n·HK(n为正整数),求n的值.
图K21-9
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参考答案
1.A [解析] 根据等式的性质2,等式的两边同时乘或者除以一个不为0的数或字母,等式依然成立.故在等式左右两边同时除以2y,可得xy=32,故选A.
2.B [解析] ∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ADC∽△ACB,∴AC∶AB=AD∶AC,∴AC2=AD·AB=2×8=16,∵AC>0,∴AC=4.故选B.
3.C 4.B
5.C [解析] ∵E,F为CD边的两个三等分点,∴EF=13CD.∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,∴EF=13AB,△EFG∽△BAG,∴S△EFG∶S△ABG=EFBA2=19.故选C.
6.C [解析] A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似;B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似;C.两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似;D.两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似.故选C.
7.103 [解析] ∵四边形ABCD是矩形,
∴DC=AB=4,AB∥CD,∠ADC=90°.
在Rt△ADC中,
由勾股定理,得AC=32+42=5.
∵E是边AB的中点,∴AE=12AB=2.
∵AB∥CD,∴△CDF∽△AEF,
∴CFAF=CDAE,即CF5-CF=42,
∴CF=103.
8.6017 [解析] 如图.设该直角三角形能容纳的正方形边长为x,则AD=12-x,FC=5-x.
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根据题意易得△ADE∽△EFC,∴ADEF=DEFC,∴12-xx=x5-x,解得x=6017.故答案为6017.
9.解:∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠DBC,
又∵AB∥CD,
∴∠D=∠ABD,∴∠DBC=∠D,∴BC=CD=4.
又∵∠AEB=∠CED,∴△AEB∽△CED,
∴ABCD=AECE,
∴AECE=84=2,
∴AE=2EC,解得EC=12AE,
∵AC=AE+EC=6,
∴AE+12AE=6,解得AE=4.
10.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,∠DEF=∠B,∴∠CEF=∠BDE,∴△BDE∽△CEF.
(2)由(1)得BECF=DEEF,
∵E是BC的中点,∴BE=CE,∴CECF=DEEF,即CEDE=CFEF,
∵∠C=∠DEF,∴△EDF∽△CEF,
∴∠CFE=∠EFD,即FE平分∠DFC.
11.53或125 [解析] ∠A=∠A,分两种情况:①当ADAE=ABAC时,△ADE∽△ABC,即2AE=65,∴AE=53;②当ADAE=ACAB时,△ADE∽△ACB,即2AE=56,∴
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AE=125.综上所述,当AE=53或125时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似.
12.解:(1)证明:在▱ABCD中,有AD∥BC,∴∠ADE=∠F,∵点E是AB中点,∴AE=BE,又∵∠AED=∠BEF,∴△ADE≌
△BFE.
(2)①在▱ABCD中,有AB∥CD,AB=CD,∴∠AEK=∠CDH,∵AK∥HC,∴∠AKE=∠CHD,∴△AEK∽△CDH,∴AECD=AKCH.
又∵E是边AB的中点,∴2AE=AB=CD,∴HC=2AK.
②当点G是边BC中点时,在▱ABCD中,有AD∥BC,AD=BC,∴△AHD∽△GHF,∴ADGF=HDHF.
由(1)得,△ADE≌△BFE,∴AD=BF,又∵G是BC中点,∴2BG=AD=BF,∴ADGF=23.
∵AD∥FC,∴∠ADK=∠F,∵AK∥HC,∴∠AKH=∠CHK,∴∠AKD=∠CHF,∴△AKD∽△CHF.∴ADCF=KDHF=12,
∴KD=12HF,HK=HD-KD=16HF,∴HDHK=4,∴n=4.
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