课时训练(二十六) 直线与圆的位置关系
(限时:45分钟)
|夯实基础|
1.[2018·湘西州] 已知☉O的半径为5 cm,圆心O到直线l的距离为5 cm,则直线l与☉O的位置关系为 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法确定
2.[2018·常州] 如图K26-1,AB是☉O的直径,MN是☉O的切线,切点为N,如果∠MNB=52°,则∠NOA的度数为 ( )
图K26-1
A.76° B.56° C.54° D.52°
3.[2018·湘西州] 如图K26-2,直线AB与☉O相切于点A,AC,CD是☉O的两条弦,且CD∥AB,若☉O的半径为5,CD=8,则弦AC的长为 ( )
图K26-2
A.10 B.8
C.43 D.45
4.如图K26-3,AB是☉O的直径,C是☉O上的点,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,若∠A=30°,则sin∠E的值为 ( )
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图K26-3
A.12 B.22 C.32 D.33
5.如图K26-4,过☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,OP交☉O于点C,点D是优弧AB上不与点A,点B重合的一个动点,连接AD,CD,若∠APB=80°,则∠ADC的度数是 ( )
图K26-4
A.15° B.20° C.25° D.30°
6.[2018·烟台] 如图K26-5,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数是 ( )
图K26-5
A.56° B.62°
C.68° D.78°
7.[2018·湘潭] 如图K26-6,AB是☉O的切线,点B为切点,若∠A=30°,则∠AOB的度数是 .
图K26-6
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8.[2018·大庆] 在△ABC中,∠C=90°,AB=10,且AC=6,则这个三角形的内切圆半径为 .
9.[2018·益阳] 如图K26-7,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于12MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线AE;④以同样的方法作射线BF,AE交BF于点O,连接OC,则OC= .
图K26-7
10.[2018·岳阳] 如图K26-8,以AB为直径的☉O与CE相切于点C,CE交AB的延长线于点E,直径AB=18,∠A=30°,弦CD⊥AB,垂足为点F,连接AC,OC,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
图K26-8
①BC=BD;②扇形OBC的面积为274π;③△OCF∽△OEC;④若点P为线段OA上一动点,则AP·OP有最大值20.25.
11.[2018·昆明] 如图K26-9,AB是☉O的直径,ED切☉O于点C,AD交☉O于点F,AC平分∠BAD,连接BF.
(1)求证:AD⊥ED;
(2)若CD=4,AF=2,求☉O的半径.
图K26-9
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12.[2017·济宁] 如图K26-10,已知☉O的直径AB=12,弦AC=10,D是BC的中点,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)求AE的长.
图K26-10
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|拓展提升|
13.[2018·鄂州] 如图K26-11,PA,PB是☉O的切线,切点为A,B,AC是☉O的直径,OP与AB相交于点D,连接BC.
图K26-11
给出下列结论:①∠APB=2∠BAC;②OP∥BC;③若tanC=3,则OP=5BC;④AC2=4OD·OP.其中正确的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
14.[2018·娄底] 如图K26-12,C,D是以AB为直径的☉O上的点,AC=BC,弦CD交AB于点E.
(1)当PB是☉O的切线时,求证:∠PBD=∠DAB;
(2)求证:BC2-CE2=CE·DE;
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(3)已知OA=4,E是半径OA的中点,求线段DE的长.
图K26-12
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参考答案
1.B 2.A 3.D
4.A [解析] 连接OC,根据直线CE与☉O相切可得OC⊥CE.又∠A=30°,∴∠BOC=2∠A=60°,
∴∠E=90°-∠BOC=30°,∴sin∠E=sin30°=12.
5.C [解析] 连接OB,OA,易得∠BOA=360°-90°-90°-80°=100°.又∵AC=BC,∴∠AOC=∠BOC=50°,∴∠ADC=
12∠AOC=25°.
6.C [解析] ∵点I是△ABC的内心,∴AI,CI是△ABC的角平分线,∴∠AIC=90°+12∠B=124°,∴∠B=68°.∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B=68°,故选C.
7.60°
8.2 [解析] 在直角△ABC中,BC=AB2-AC2=102-62=8,设内切圆的半径是r,则12AB·r+12AC·r+12BC·r=12BC·AC,即5r+3r+4r=24,解得r=2.也可以用切线长定理解决.
9.2 [解析] 过点O作OD⊥AC,垂足为D.根据题目给出的数据可知△ABC为直角三角形,根据作图可知点O为△ABC的内心,从而根据内切圆半径公式r=a+b-c2,求出内切圆的半径OD,从而求出OC的长.
10.①③④ [解析] ∵AB是☉O的直径,且CD⊥AB,
∴BC=BD,故①正确;
∵∠A=30°,∴∠COB=60°,
∴扇形OBC的面积S=60360·πAB22=272π,故②错误;
∵CE是☉O的切线,∴∠OCE=90°,∴∠OCE=∠OFC,∠EOC=∠COF,∴△OCF∽△OEC,故③正确;设AP=x,则OP=9-x,∴
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AP·OP=x(9-x)=-x2+9x=-x-922+814,∴当x=92时,AP·OP的最大值为814=20.25,故④正确.
11.解:(1)证明:连接OC,交BF于点G.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,又∵AC平分∠BAD,∴∠CAD=∠OAC,∴∠OCA=∠CAD,∴OC∥AD,∴∠D+∠OCD=180°.∵ED切☉O于点C,∴∠OCD=90°,
∴∠D=180°-∠OCD=90°,∴AD⊥ED.
(2)∵AB是☉O的直径,∴∠AFB=90°,又∵∠AFB=∠D=∠DCG=90°,∴四边形GFDC是矩形,∴GF=CD=4.∵OC∥AD,∴△BOG∽△BAF,又∵OA=OB,
∴BGBF=BOBA=12,∴BG=FG=4,∴BF=2FG=8,则在Rt△BAF中,AF2+BF2=AB2,∴AB=22+82=217.∴☉O的半径为17.
12.解:(1)证明:连接OD,∵D是BC的中点,
∴BD=12BC.
∴∠BOD=∠BAC,
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC,
∴∠AED=90°,
∴∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是☉O的切线.
(2)如图,过点O作OF⊥AC于点F,
∵AC=10,
∴AF=CF=12AC=12×10=5.
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∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,
∴四边形OFED是矩形,
∴FE=OD=12AB.
∵AB=12,
∴FE=6,
∴AE=AF+FE=5+6=11.
13.A [解析] 连接OB.利用切线长定理证明Rt△APO≌Rt△BPO,再利用同角的余角相等,可证得∠BAC=∠APO,∠AOP=∠C,得到OP∥BC,∠APB=2∠APO=2∠BAC,故①②正确;利用勾股定理和∠AOP=∠C,可证得OP=(3OA)2+OA2=10OA=10×12AC=10×12×10BC=5BC,故③正确;利用两角对应相等的两个三角形相似的判定定理证明△ABC∽△PAO,再通过等量代换可证得AC2=4OD·OP,故④正确.
14.解:(1)证明:∵PB是☉O的切线,∴AB⊥PB,
∴∠PBD+∠ABD=90°.∵AB是直径,∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠ABD=90°,∴∠PBD=∠DAB.
(2)证明:∵AC=BC,∴∠CBA=∠CDB,
又∵∠BCE=∠DCB,
∴△CBE∽△CDB,∴BCCD=CEBC,
∴BC2=CE·CD=CE(CE+ED)=CE2+CE·ED,
∴BC2-CE2=CE·ED.
(3)连接AC.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
又∵AC=BC,∴∠CBA=∠CAB=45°,
∴在Rt△ABC中,BC=AB·sin45°=42.
在△AED和△CEB中,∠ADE=∠ABC,
∠DAE=∠BCE,
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∴△AED∽△CEB,∴AECE=DEBE,∴CE·DE=AE·BE.
∵E是半径OA的中点,∴AE=2,BE=6,∴CE·DE=AE·BE=12,由(2)知BC2-CE2=CE·DE,∴(42)2-CE2=12,
∴CE=25,DE=1225=655.
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