单元测试(四)
范围:图形的初步认识与三角形 限时:60分钟 满分:100分
一、选择题(每题6分,共30分)
1.如图D4-1,AB∥CD,∠DEC=100°,∠C=40°,则∠B的大小是 ( )
图D4-1
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如图D4-2,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12,得到△COD,则CD的长度是 ( )
图D4-2
A.2 B.1 C.4 D.25
3.如图D4-3,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE的度数为 ( )
图D4-3
A.70° B.80° C.40° D.30°
4.如图D4-4,在边长为4的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,则△ADE的面积是( )
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图D4-4
A.3 B.32 C.334 D.23
5.如图D4-5,在Rt△ABC中,∠A=90°,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为 ( )
图D4-5
A.4 B.6 C.43 D.8
二、填空题(每题6分,共24分)
6.已知两个角的和是67°56',差是12°40',则这两个角的度数分别是 .
7.如图D4-6,一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向,且距离灯塔18海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处,此时渔船与灯塔P的距离约为 海里.(结果取整数,参考数据:sin55°≈0.8,cos55°≈0.6,tan55°≈1.4)
图D4-6
8.在△ABC中,BC=2,AB=23,AC=b,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为 .
9.如图D4-7,将边长为6 cm的正方形ABCD折叠,使点D落在AB边的中点E处,折痕为FH,点C落在点Q处,EQ与BC交
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于点G,则△EBG的周长是 .
图D4-7
三、解答题(共46分)
10.(10分)如图D4-8,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°,测得底部C处的俯角为58°,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数,参考数据:tan48°≈1.11,tan58°≈1.60).
图D4-8
11.(12分)如图D4-9,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,CE⊥BD于E,AB=EC.
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(1)求证:△ABD≌△ECB;
(2)若∠EDC=65°,求∠ECB的度数;
(3)若AD=3,AB=4,求DC的长.
图D4-9
12.(12分)如图D4-10,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点D是AB的中点,点P是AB上的一个动点(点P与点A,B不重合),矩形PECF的顶点E,F分别在BC,AC上.
(1)探究DE与DF的数量与位置关系,并给出证明;
(2)当点P满足什么条件时,线段EF的长最短?(直接给出结论,不必说明理由)
图D4-10
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13.(12分)如图D4-11,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,交AC于F.
(1)如图①,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE.
(2)如图②,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M.
求证:①GM=2MC;②AG2=AF·AC.
图D4-11
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参考答案
1.B 2.A
3.D [解析] 在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=70°.
∵线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=40°,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.
4.A [解析] 边长为4的等边三角形的面积为12×4×23=43,因为D,E分别为AB,AC的中点,所以△ADE∽△ABC,所以S△ADE∶S△ABC=1∶4,所以S△ADE=14×43=3,故选A.
5.B [解析] ∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB,∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=12∠ACB,∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC,∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=12∠AMC,∴∠AMN=12∠ACB=12∠ANM,∵∠A=90°,∴∠AMN=30°,
∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3,
∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6,故选B.
6.40°18',27°38'
7.11 [解析] 如图,作PC⊥AB于C.
在Rt△PAC中,∵PA=18,∠A=30°,∴PC=12PA=12×18=9.
在Rt△PBC中,∵PC=9,∠B=55°,∴PB=PCsinB≈90.8≈11,
即此时渔船与灯塔P的距离约为11海里.
8.2 [解析] 因为关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,所以Δ=(-4)2-4b=16-4b=0,得AC=b=4.因为BC=2,AB=23,所以BC2+AB2=AC2,所以三角形ABC为直角三角形,AC为斜边,则AC边上的中线长为斜边的一半,取值为2.
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9.12 cm [解析] 根据折叠性质可得∠FEG=90°,设AF=x,则EF=FD=6-x.∵E为AB的中点,∴AE=12AB=3.在Rt△AEF中,AF2+AE2=EF2,即x2+32=(6-x)2,解得x=94,∴AF=94,EF=154.根据△AFE∽△BEG,可得AFBE=AEBG=EFEG,即943=3BG=154EG,∴BG=4,EG=5,∴△EBG的周长为3+4+5=12(cm).
10.解:如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E,
则∠AED=∠BED=90°.
由题意可知,BC=78,∠ADE=48°,∠ACB=58°,
∠ABC=90°,∠DCB=90°,
可得四边形BCDE为矩形,
∴ED=BC=78,DC=EB.
在Rt△ABC中,tan∠ACB=ABBC,
∴AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125.
在Rt△AED中,tan∠ADE=AEED,
∴AE=ED·tan48°,
∴EB=AB-AE=BC·tan58°-ED·tan48°≈78×1.60-78×1.11≈38,∴DC=EB≈38.
答:甲建筑物的高度AB约为125 m,乙建筑物的高度DC约为38 m.
11.解:(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠EBC.
在△ABD与△ECB中,
∠A=∠CEB,∠ADB=∠EBC,AB=CE,∴△ABD≌△ECB.
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(2)由(1)证得△ABD≌△ECB,
∴BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=65°,
∵∠DCE=90°-65°=25°,∴∠ECB=65°-25°=40°.
(3)由(1)证得△ABD≌△ECB,
∴CE=AB=4,BE=AD=3,
∴BD=BC=42+32=5,
∴DE=2,∴CD=42+22=25.
12.解:(1)DE=DF,DE⊥DF.
证明:连接CD.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,点D是AB的中点,∴CD=AD,CD⊥AD.
∵四边形PECF是矩形,∴CE=FP,FP∥CB,
∴△APF是等腰直角三角形,
∴AF=PF=EC,∠DCE=∠A=45°,
∴△DCE≌△DAF,∴DE=DF,∠ADF=∠CDE.
∵∠ADF+∠FDC=∠CDA=90°,
∴∠CDE+∠FDC=∠EDF=90°,∴DE⊥DF.
即DE=DF,DE⊥DF.
(2)∵DE=DF,DE⊥DF,∴EF=2DE=2DF,
∴当DE和DF同时最短时,EF最短,
∴当DF⊥AC,DE⊥BC时,二者最短,
则此时点P与点D重合,
∴当点P与点D重合时,线段EF的长最短.
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13.证明:(1)∵BF⊥AD,∴∠AEB=∠DEB=90°.
在Rt△ABE和Rt△DBE中,BA=BD,BE=BE,
∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL).
(2)①连接GD,∵BD=4DC,G是AB的中点,
∴S△ADC=15S△ABC,S△ADG=12×45S△ABC=25S△ABC,
∴GMMC=S△AGMS△ACM=S△DGMS△DCM=S△AGM+S△DGMS△ACM+S△DCM=S△ADGS△ADC=2∶1,
∴GM=2MC.
②过点C作CN⊥AC,交AD的延长线于N,则AB∥CN,
∴△ADB∽△NDC,∵BD=4DC,∴ADDN=ABCN=BDDC=4∶1.
又∵BF⊥AD,∠BAC=90°,∴∠ABE+∠BAE=∠FAE+∠BAE,∴∠ABE=∠FAE,即∠ABF=∠CAN.
在Rt△ABF与Rt△CAN中,∵∠BAF=∠ACN=90°,∠ABF=∠CAN,
∴Rt△ABF∽Rt△CAN,∴AFCN=ABCA,∴AF·CA=AB·CN=14AB2=AG2,∴AG2=AF·AC.
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