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第二部分 专题三 类型一
1．“低碳环保，你我同行”．近两年，某市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方
便．图 1 是公共自行车的实物图，图 2 是公共自行车的车架示意图，点 A，D，C，E 在同一
条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE 于点 D，坐杆 CE＝15 cm，且∠EAB
＝75°.
(1)求 AD 的长；
(2)求点 E 到 AB 的距离．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)
解：(1)在 Rt△ADF 中，由勾股定理得，
AD＝ AF2－FD2＝ 252－202＝15(cm)；
(2)AE＝AD＋CD＋EC＝15＋30＋15＝60(cm)，
如答图，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，
在 Rt △AEH 中，sin ∠ EAH ＝
EH
AE，则 EH ＝AE·sin ∠EAH ＝
AE·sin75°≈60×0.97＝58.2(cm)．
答：点 E 到 AB 的距离为 58.2 cm.
2．(2018·吉安模拟)某市需要新建一批公交车候车厅，设计师设计了一种产品(如图 1)，
产品示意图的侧面如图 2 所示，其中支柱 DC 长为 2.1 m，且支柱 DC 垂直于地面 DG，顶棚横
梁 AE 长为 1.5 m，BC 为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角∠BCD＝150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC
＝135°，要求使得横梁一端点 E 在支柱 DC 的延长线上，此时经测量得镶接点 B 与点 E 的距
离为 0.35 m(参考数据： 2≈1.41，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，结
果精确到 0.1 m)．
(1)求 EC 的长；
(2)求点 A 到地面 DG 的距离．
解：(1)如答图，连接 EC.可得∠EBC＝45°，∠ECB＝30°.过点 E 作 EP
⊥BC 于点 P.2
如答图，EP＝BE·sin45°≈0.25(m)．
EC＝2EP＝0.5 m.
(2)过点 A 作 AF⊥DG，垂足为 F，过点 E 作 EM⊥AF，垂足为 M，AM＝AE·sin15°＝
1.5×0.26＝0.39(m)．
AF＝AM＋CE＋DC＝0.39＋0.5＋2.1＝3.2(m)．
所以点 A 到地面 DG 的距离是 3.2 m.
3．(2018·江西样卷)如图 1，是某校的简易车棚的支撑架，其示意图如图 2. 经测量知
AB＝210 cm，BE＝110 cm，BF＝100 cm，BD＝OD＝80 cm，OA＝160 cm.
(1)求棚顶 EF 与水平面 MN 的倾斜角；(结果精确到 1 度)
(2)求车棚的边沿 E 到地面 MN 的距离．(结果精确到 1 cm)
(参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)
图 1 图 2
解：(1)如答图，过点 D 作 DG⊥AB 于点 G，
∵BD＝OD，DG⊥AB，
∴BG＝OG＝
1
2OB＝
1
2×(210－160)＝25(cm)．
在 Rt△BDG 中，sin∠BDG＝
BG
BD＝
25
80＝0.3125≈0.31，∴∠BDG＝18°.
∴棚顶 EF 与水平面 MN 的倾斜角约为 18°.
第 3 题答图
(2)过点 E，作 EH⊥AB 延长线，垂足分别为 H，
∵EH⊥AB, DG⊥AB，
∴EH∥DG，
∴∠BEH＝∠BDG＝18°.
在 Rt△BEH 中，
sin∠BEH＝
BH
BE，
∴BH＝BE·sin18°＝110×0.31≈34(cm)，3
∴AH＝AB＋BH＝210＋34＝244(cm)．
∴车棚的边沿 E 到地面 MN 的距离约为 244 cm.
4．(2018·江西模拟)如图 1 是一种简易台灯，在其结构图 2 中灯座为△ABC(BC 伸出部
分不计)，A，C，D 在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16 cm，∠ADE＝
135°，灯杆 CD 长为 40 cm，灯管 DE 长为 15 cm.
(1)求 DE 与水平桌面(AB 所在直线)所成的角；
(2)求台灯的高(点 E 到桌面的距离，结果精确到 0.1 cm)．
( 参考数据：sin15°≈0.26 ，cos15°≈0.97 ，tan15°≈0.27 ，sin30°≈0.5 ，
cos30°≈0.87，tan30°≈0.58)
解：(1)如答图所示，过点 D 作 DF∥AB，过点 D 作 DN⊥AB 于点 N，过点 E 作 EF⊥AB 延
长线于点 M，
第 4 题答图
由题意可得，四边形 DNMF 是矩形，则∠NDF＝90°，
∵∠A＝60°，∠AND＝90°，
∴∠ADN＝30°，
∴∠EDF＝135°－90°－30°＝15°，
即 DE 与水平桌面(AB 所在直线)所成的角为 15°.
(2)如答图所示，∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16 cm，∴∠ABC＝30°，则 AC＝
1
2AB
＝8 cm，
∵灯杆 CD 长为 40 cm，
∴AD＝AC＋CD＝8＋40＝48(cm)，
∴DN＝AD·sin60°＝24 3 cm，则 FM＝24 3 cm，
∵灯管 DE 长为 15 cm，
∴sin15°＝
EF
DE＝
EF
15＝0.26，解得 EF＝3.9.
故台灯的高为 EF＋FM＝3.9＋24 3≈45.5(cm)．
5．(2018·宜春模拟)一书架上的方格中放置四本厚度和长度相同的书，其中书架方格4
长 BF＝40 cm，书的长度 AB＝20 cm，设一本书的厚度为 x cm.
(1)如图 1 左边三本书紧贴书架方格内侧竖放，右边一本书自然向左斜放，支撑点为 C，
E，最右侧书一个角正好靠在方格内侧上，若 CG＝4 cm，求 EF 的长度；
(2)如图 2 左边两本书紧贴书架方格内侧竖放，右边两本书自然向左斜放，支撑点为 C，
E，最右侧书的下面两个角正好靠在方格内侧上，若∠DCE＝30°，求 x 的值(保留一位小
数)．(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
解：(1)∵∠CEH＝90°，∴∠CED＋∠HEF＝90°.
又∵∠CED＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠HEF.
又∵∠CDE＝∠EFH＝90°，∴△CDE∽△EFH，
∴
CE
EH＝
CD
EF，又∵CE＝DG＝20 cm，CG＝4 cm，
∴CD＝16 cm，由勾股定理得 DE＝12，
∴
20
x ＝
16
EF，∴EF＝
4x
5 .
∵BD＋DE＋EF＝40，
∴3x＋12＋
4
5x＝40，
∴x＝
140
19 ，EF＝
4
5×
140
19 ＝
112
19 (cm)．
(2)∵AB＝CE＝20 cm，∠DCE＝30°，∴DE＝10 cm.
在 Rt△EGM 中，
∵∠GEM＝∠DCE＝30°，EG＝x cm，
∴EM＝
2 3
3 x cm，
在 Rt△MFH 中，
∵∠GEM＝∠HMF＝30°，MH＝x cm，
∴FM＝
3
2 x cm，
∴BF＝BD＋DE＋EM＋FM＝2x＋10＋
2 3
3 x＋
3
2 x＝40，化简(12＋7 3)x＝180，x≈7.5
cm.5
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