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第二部分 专题六 类型一
1．(2018·江西样卷)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y＝mx2＋2 3mx＋n 经过 P( 3，
5)，A(0,2)两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为 B，将直线 AB 沿 y 轴向下平移两个单位得到直线 l，直线 l 与抛
物线的对称轴交于 C 点，求直线 l 的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一个点 P，使 P 点与 A，C 两点构成等边三角形？如果不存在，
说明理由；如果存在，试求出它的坐标．
解：(1)根据题意得Error!解得Error!
∴抛物线的解析式为 y＝
1
3x2＋
2 3
3 x＋2.
(2)由 y＝
1
3x2＋
2 3
3 x＋2，得抛物线的顶点坐标为 B(－ 3，
1)．
依题意，可得 C(－ 3，－1)，且直线 l 过原点．
设直线 l 的解析式为 y＝kx，
则－ 3k＝－1，解得 k＝
3
3 ，
∴直线 l 的解析式为 y＝
3
3 x.
(3)存在点 P(－2 3，2)，使得△PAC 为等边三角形．
如答图，连接 AC，
∵A，B，C 三点的坐标为(0,2)，(－ 3，1)，(－ 3，－1)，
∴AB＝OA＝2，OC＝2，AC＝2 3.
∴tan∠BAO＝
3
2－1＝ 3，∠BAO＝60°.
又∵AB∥l ，BC 平行于 y 轴，
∴四边形 ABCO 是菱形，∠CAO＝30°.
故要使△PAC 为等边三角形，只要使∠PAC＝60°，PA＝AC.
过 A 点作 x 轴的平行线，交抛物线于点 P，则有∠PAC＝60°.2
∵抛物线的对称轴为 x＝－ 3，A 点的坐标为(0,2)，A 点与 P 点关于对称轴对称，
∴PA＝2 3＝AC.即存在点 P(－2 3，2)使得△PAC 为等边三角形．
2 ．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C(3,0) ，D(3,4) ，
E(0,4)．点 A 在 DE 上，以 A 为顶点的抛物线过点 C，且对称轴 x＝1 交 x 轴于点 B.连接 EC，
AC.点 P，Q 为动点，设运动时间为 t 秒．
(1)填空：点 A 坐标为 (1,4)；抛物线的解析式为 y＝－(x－1)2＋4_.
(2)在图 1 中，若点 P 在线段 OC 上从点 O 向点 C 以 1 个单位/秒的速度运动，同时，点
Q 在线段 CE 上从点 C 向点 E 以 2 个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随
之停止运动．当 t 为何值时，△PCQ 为直角三角形？
(3)在图 2 中，若点 P 在对称轴上从点 A 开始向点 B 以 1 个单位/秒的速度运动，过点 P
作 PF⊥AB，交 AC 于点 F，过点 F 作 FG⊥AD 于点 G，交抛物线于点 Q，连接 AQ，CQ.当 t 为
何值时，△ACQ 的面积最大？最大值是多少？
解：(1)∵抛物线的对称轴为 x＝1，矩形 OCDE 的三个顶点分别是 C(3,0)，D(3,4)，
E(0,4)，点 A 在 DE 上，∴点 A 坐标为(1,4)，
设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2＋4，把 C(3,0)代入抛物线的解析式，
可得 a(3－1)2＋4＝0，解得 a＝－1.
故抛物线的解析式为 y＝－(x－1)2＋4.
(2)依题意有 OC＝3，OE＝4，
∴CE＝ OC2＋OE2＝ 32＋42＝5，
当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝
PC
CQ＝
OC
CE，
∴
3－t
2t ＝
3
5，解得 t＝
15
11；
当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝
CQ
PC＝
OC
CE，
∴
2t
3－t＝
3
5，解得 t＝
9
13.
∴当 t＝
15
11或 t＝
9
13时，△PCQ 为直角三角形．
(3)∵A(1,4)，C(3,0)，
设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋b，则 Error!
解得Error!3
故直线 AC 的解析式为 y＝－2x＋6.
∵P(1,4－t)，将 y＝4－t 代入 y＝－2x＋6 中，得 x＝1＋
t
2，∴Q 点的横坐标为 1＋
t
2，
将 x＝1＋
t
2代入 y＝－(x－1)2＋4 中，得 y＝4－
t2
4 .
∴Q 点的纵坐标为 4－
t2
4 ，
∴QF＝(4－
t2
4 )－(4－t)＝t－
t2
4 ，
∴S△ACQ＝S△AFQ＋S△CFQ＝
1
2FQ·AG＋
1
2FQ·DG＝
1
2FQ(AG＋DG)＝
1
2FQ·AD＝
1
2×2×(t－
t2
4 )
＝－
t2
4 ＋t＝－
1
4(t－2)2＋1，
∴当 t＝2 时，△ACQ 的面积最大，最大值是 1.
3．(2017·景德镇二模)如图，抛物线 C1：y1＝tx2－1(t＞0)和抛物线 C2：y2＝－4(x－
h)2＋1(h≥1)．
(1)两抛物线的顶点 A，B 的坐标分别为 (0，－1)和 (h,1)；
(2)设抛物线 C2 的对称轴与抛物线 C1 交于点 N，则 t 为何值时，A，B，M，N 为顶点的四
边形是平行四边形；
(3)设抛物线 C1 与 x 轴的左交点为点 E，抛物线 C2 与 x 轴的右边交点为点 F，试问，在
第(2)问的前提下，四边形 AEBF 能否为矩形？若能，求出 h 值；若不能，说明理由．
解：(1)抛物线 C1：y1＝tx2－1 的顶点坐标是(0，－1)，
抛物线 C2：y2＝－4(x－h)2＋1 的顶点坐标是(h,1)．
(2)∵AM∥BN，
∴当 AM＝BN 时，A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形．
∵当 x＝h 时，y2＝1，y1＝tx2－1＝th2－1，
∴BN＝|1－(th2－1)|＝|2－th2|.
①当点 B 在点 N 的下方时，4h2－2＝th2－2，
∵h2≠0，∴t＝4；
②当点 B 在点 N 的上方时，4h2－2＝2－th2，
整理，得 t＋4＝
4
h2，4
∵当 t＞0 时，t＋4＞4；当 h≥1 时，
4
h2≤4，
∴这样的 t 值不存在，
∴当点 B 在点 N 的下方时，t＝4；
当点 B 在点 N 的上方时 t 值不存在．
(3)能，理由如下：由(2)可知，两个函数二次项系数互为相反数，
∴两抛物线的形状相同，故它们成中心对称．
∵点 A 和点 B 的纵坐标的绝对值相同，
∴两抛物线的对称中心落在 x 轴上．
∵四边形 AEBF 是平行四边形，
∴当∠EAF＝90°时，四边形 AFBE 是矩形．
∵抛物线 C1 与 x 轴左交点坐标是(－
1
2，0)，∴OE＝
1
2.
∵抛物线 C2 与 x 轴右交点坐标是(h＋
1
2，0)且 h≥1，∴OF＝h＋
1
2.
∵∠FAO＋∠EAO＝90°，∠EAO＋∠AEO＝90°，
∴∠FAO＝∠AEO.
又∵∠FOA＝∠EOA＝90°，
∴△AEO∽△FAO，
AO
OE＝
OF
AO，
∴OA2＝OE·OF，即
1
2(h＋
1
2)＝1，解得 h＝
3
2＞1，
∴当 h＝
3
2时，四边形 AEBF 为矩形.
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