1
第二部分 专题四 类型三
1．(2018·辽宁)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，O 是 AB
上一点，经过 A，E 两点的⊙O 交 AB 于点 D，连接 DE，作∠DEA 的平分线 EF 交⊙O 于点 F，
连接 AF.
(1)求证：BC 是⊙O 的切线；
(2)若 sin∠EFA＝
4
5，AF＝5 2，求线段 AC 的长．
(1)证明：如答图，连接 OE.∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE.
∵AE 平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，
∴∠CAE＝∠OEA，∴AC∥OE.∵∠C＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∴OE⊥BC，∴BC 是⊙O 的切线．
(2)解：如答图，连接 OF，DF.∵EF 平分∠DEA，
∴DF＝AF＝5 2.
∵AD 为⊙O 的直径，∴∠AFD＝90°，∴AD＝10.
∵sin∠EFA＝
4
5，∴cos∠EAD＝
AE
AD＝
4
5，∴AE＝8.
∵AE 平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴△CAE∽△EAD，
∴
AE
AD＝
AC
AE，∴AC＝6.4.
2．(2018·赣州教研联盟考试)如图 1，已知∠MPN 的角平分线 PF 经过圆心 O 交⊙O 于
点 E，F，PN 是⊙O 的切线，B 为切点．
(1)求证：PM 是⊙O 的切线；
(2)如图 2，在(1)的前提下，设切线 PM 与⊙O 的切点为 A，连接 AB 交 PF 于点 D，连接 AO
并延长交⊙O 于点 C，连接 BC，AF，记∠PFA 为 α.
①若 BC＝6，tanα＝
1
2，求线段 AD 的长；
②小华探究图 2 之后发现：EF2＝m·OD·OP(m 为正整数)，请你猜想 m 的数值，并证明
你的猜想．2
(1)证明：如答图，过点 O 作 OA⊥PM，垂足为 A，连接 OB.
∵PN 是⊙O 的切线，B 为切点，
∴OB 是⊙O 的半径，且 OB⊥PN.
∵∠1＝∠2，且 OA⊥PM，OB⊥PN，∴OA＝OB，
∴PM 是⊙O 的切线．
第 2 题答图
(2)解：①∵PM，PN 都是⊙O 的切线，
∴PA＝PB，且∠1＝∠2，
∴OP⊥AB，∴BD＝AD.
∵OD 是 Rt△ABC 的中位线，
∴OD＝
1
2BC＝3.
设⊙O 的半径为 r，则 FD＝r＋3.
∵tanα＝
1
2＝
AD
FD，∴AD＝
1
2(r＋3)．
在 Rt△AOD 中，OA2＝r2＝[
1
2(r＋3)]2＋32，
解得 r＝5，∴AD＝
1
2(r＋3)＝4.
②猜想 m＝4.证明如下：
∵∠OAP＝∠ODA＝90°，∠POA＝∠AOD，
∴Rt△OAP∽Rt△ODA，
∴
OA
OP＝
OD
OA，而 OA＝
1
2EF，
∴EF2＝4·OD·OP，即 m＝4.3
3．(2018·抚州八校联谊考试)如图，点E 是以 AD 为直径的半圆 O 上的一动点(不与点
A，D 重合)，连接 DE 并延长到 B，使得 BE＝DE；连接 AE 并延长到 C，使得 CE＝AE，连接
AB，BC，CD.
(1)如图 1，当点 E 为半圆的中点时，求证：四边形 ABCD 为正方形；
(2)当点 E 不是半圆的中点时，四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请直接写出；
(3)若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD＝4，求AE
︵
的长．
图 1
备用图
第 3 题图
(1)证明：∵点 E 为半圆 O 的中点，∴DE＝AE.
∵BE＝DE，CE＝AE，∴BE＝DE＝CE＝AE，
∴四边形 ABCD 为矩形．
∵AD 为半圆 O 的直径，∴∠AED＝90°，
∴四边形 ABCD 为正方形．
(2)解：四边形 ABCD 是菱形．
第 3 题答图 1
(3)解：当点 E 在答图 1 的位置时，设切点为 F，连接 OF，过点 C 作 CG⊥DA 交 AD 于点
G.
∵四边形 ABCD 为菱形，AD＝4，
∴CD＝AD＝4，BF∥AD.
又∵BF 与⊙O 相切，CG⊥AD，∴CG＝OF＝2.
∵在 Rt△CDG 中，sin∠CDG＝
CG
CD＝
2
4＝
1
2，
∴∠CDG＝30°.
∵O，E 分别是 AD，AC 的中点，连接 OE，
∴OE∥CD，4
第 3 题答图 2
∴∠AOE＝∠CDG＝30°，
∴AE
︵
的长为
30π × 2
180 ＝
1
3π.
当点 E 在答图 2 的位置时，由上可知，AE
︵
的长为 2π－
30π × 2
180 ＝
5
3π.
∴AE
︵
的长为
1
3π 或
5
3π.
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