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第二部分 专题四 类型一
1．(2018·湖北)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E 为 AB 边的中点，
以 BE 为边作等边△BDE，连接 AD，CD.
(1)求证：△ADE≌△CDB；
(2)若 BC＝ 3，在 AC 边上找一点 H，使得 BH＋EH 最小，并求出这个最小值．
(1)证明：在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，E 为 AB 边为中点，∴BC＝EA，∠ABC＝60°.
∵△DEB 为等边三角形，∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°，∴∠DEA＝120°，∠DBC＝
120°，
∴∠DEA＝∠DBC，∴△ADE≌△CDB.
(2)解：如答图，作点E 关于直线 AC 的对称点 E′，连接 BE′交 AC 于点
H，连接 AE′，则点 H 即为符合条件的点．由作图可知 EH＋BH＝BE′，AE′＝AE，∠E′AC
＝∠BAC＝30°，
∴∠EAE′＝60°，∴△EAE′为等边三角形，
∴EE′＝EA＝
1
2AB，∴∠AE′B＝90°.
在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC＝ 3，
∴AB＝2 3，AE′＝AE＝ 3，
∴BE′＝ AB2－AE′2＝ 2 32－ 32＝3，
∴BH＋EH 的最小值为 3.
2．(2018·徐州)如图，将等腰直角三角形纸片 ABC 对折，折痕为 CD.
展平后，再将点 B 折叠在边 AC 上(不与 A，C 重合)，折痕为 EF，点 B 在 AC
上的对应点为 M，设 CD 与 EM 交于点 P，连接 PF.已知 BC＝4.
(1)若 M 为 AC 的中点，求 CF 的长；
(2)随着点 M 在边 AC 上取不同的位置，
①△PFM 的形状是否发生变化？请说明理由；
②求△PFM 的周长的取值范围．
解：(1)∵M 为 AC 的中点，
∴CM＝
1
2AC＝
1
2BC＝2，
由折叠的性质可知，FB＝FM，2
设 CF＝x，则 FB＝FM＝4－x，
在 Rt△CFM 中，FM2＝CF2＋CM2，即(4－x)2＝x2＋22，解得，x＝
3
2，即 CF＝
3
2.
(2)①△PFM 的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，理由如下：
令 FM 与 CD 交于点 D，由折叠的性质可知，∠PMF＝∠B＝45°.
∵CD 是中垂线，∴∠ACD＝∠DCF＝45°.
∵∠MPC＝∠OPM，∴△POM∽△PMC，
∴
PO
PM＝
OM
MC，∴
MC
PM＝
OM
PO.
∵∠EMC＝∠AEM＋∠A＝∠CMF＋∠EMF，
∴∠AEM＝∠CMF.
∵∠DPE＋∠AEM＝90°，∠CMF＋∠MFC＝90°，∠DPE＝∠MPC，
∴∠DPE＝∠MFC，∠MPC＝∠MFC.
∵∠PCM＝∠OCF＝45°，
∴△MPC∽△OFC，∴
MP
OF＝
MC
OC，
∴
MC
PM＝
OC
OF，∴
OM
PO＝
OC
OF.∵∠POF＝∠MOC，
∴△POF∽△MOC，∴∠PFO＝∠MCO＝45°，
∴△PFM 是等腰直角三角形．
②∵△PFM 是等腰直角三角形，设 FM＝y，
由勾股定理可知 PF＝PM＝
2
2 y，
∴△PFM 的周长为(1＋ 2)y.
∵2＜y＜4，
∴△PFM 的周长的取值范围为 2＋2 2＜(1＋ 2)y＜4＋4 2.
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