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第二部分 专题五 类型一
1．(2018·南昌模拟)我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等
四边形．
概念理解
(1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形；
性质探究
(2)如图 1，在邻对等四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠DCB ，AC＝DB ，AB>CD，求证：∠BAC
与∠CDB 互补；
拓展应用
(3)如图 2，在四边形 ABCD 中，∠BCD＝2∠B，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4.在 BC 的延长
线上是否存在一点 E，使得四边形 ABED 为邻对等四边形？如果存在，求出 DE 的长；如果不
存在，说明理由．
(1)解：矩形或正方形．
(2)证明：如答图 1，延长 CD 至 E，使 CE＝BA，连接 BE.
在△ABC 和△ECB 中，Error!
∴△ABC≌△ECB(SAS)，
∴BE＝CA，∠BAC＝∠E.
∵AC＝DB，∴BD＝BE，∴∠BDE＝∠E，
∴∠CDB＋∠BDE＝∠CDB＋∠E＝∠BAC＋∠CDB＝180°，即∠BAC 与∠CDB 互补．
(3)解：存在这样一点E，使得四边形 ABED 为邻对等四边形，如答图 2，在 BC 的延长线
上取一点 E，使得 CE＝CD＝4，连接 DE，AE，BD，则四边形 ABED 为邻对等四边形．理由如
下：
∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED.
∵∠BCD＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠DEB，∴∠ACE＝∠BCD.2
在△ACE 和△BCD 中，Error!
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴BD＝AE，四边形 ABED 为邻对等四边形．
∵∠CBA＝∠CAB＝∠CDE＝∠CED，
∴△ABC∽△DEC，
∴
AB
BC＝
6
5＝
DE
CE＝
DE
4 ，∴DE＝
24
5 .
2．(2018·淮安)如果三角形的两个内角 α 与 β 满足 2α＋β＝90°，那么我们称这
样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝15°；
(2)如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若 AD 是∠BAC 的平分线，不
难证明△ABD 是“准互余三角形”．试问在边BC 上是否存在点 E(异于点 D)，使得△ABE 也是
“准互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由．
(3)如图 2，在四边形 ABCD 中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC 是“准
互余三角形”，求对角线AC 的长．
解：(1)∵△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴2∠B＋∠A＝90°，
解得∠B＝15°.
(2)如答图 1，在 Rt△ABC 中，∵∠B＋∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD，∴∠B＋2∠BAD＝
90°，
∴△ABD 是“准互余三角形”．
∵△ABE 也是“准互余三角形”，
∴只有 2∠B＋∠BAE＝90°.
∵∠B＋∠BAE＋∠EAC＝90°，∴∠CAE＝∠B.
∵∠C＝∠C＝90°，
∴△CAE∽△CBA，∴CA2＝CE·CB，
∴CE＝
16
5 ，∴BE＝5－
16
5 ＝
9
5.
3
(3)如答图 2，将△BCD 沿 BC 翻折得到△BCF，
∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD.
∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD＋∠CBD＝90°，
∴∠ABD＋∠DBC＋∠CBF＝180°，∴点 A，B，F 共线，
∴∠A＋∠ACF＝90°，∴2∠ACB＋∠CAB≠90°，
∴只有 2∠BAC＋∠ACB＝90°，∴∠FCB＝∠FAC.
∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2＝FB·FA，设 FB＝x，则有 x(x＋7)＝122，
∴x＝9 或 x＝－16(舍去)，
∴AF＝7＋9＝16，在 Rt△ACF 中，AC＝ AF2＋CF2＝ 162＋122＝20.
3．(2015·江西)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图 1，图
2，图 3 中，AF，BE 是△ABC 的中线，AF⊥BE，垂足为 P，像△ABC 这样的三角形均称为“中
垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
特例探索
(1)如图 1，当∠ABE＝45°，c＝2 2时，a＝____2 5____，b＝____2 5____.
如图 2，当∠ABE＝30°，c＝4 时，a＝____2 13____，b＝____2 7____.
归纳证明
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想 a2，b2，c2 三者之间的关系，用等式表示出来，并
利用图 3 证明你发现的关系式．
拓展应用
(3)如图 4，在□ABCD 中，点 E，F，G 分别是 AD，BC，CD 的中点，BE⊥EG，AD＝2 5，
AB＝3，求 AF 的长．
解：(1)∵AF⊥BE，∠ABE＝45°，
∴AP＝BP＝
2
2 AB＝2.
∵AF，BE 是△ABC 的中线，
∴EF∥AB，EF＝
1
2AB＝ 2，
∴∠PFE＝∠PEF＝45°，∴PE＝PF＝1.
在 Rt△FPB 和 Rt△PEA 中，AE＝BF＝ 12＋22＝ 5，
∴AC＝BC＝2 5，∴a＝b＝2 5.
如答图 1，连接 EF.4
同理可得 EF＝
1
2×4＝2.
∵EF∥AB，∴△PEF∽△PBA，
∴
PF
AP＝
PE
PB＝
EF
AB＝
1
2.
在 Rt△ABP 中，AB＝4，∠ABP＝30°，
∴AP＝2，PB＝2 3，∴PF＝1，PE＝ 3.
在 Rt△APE 和 Rt△BPF 中，AE＝ 7，BF＝ 13，
∴a＝2 13，b＝2 7.
(2)猜想：a2＋b2＝5c2，证明如下：
如答图 2，连接 EF.
设∠ABP＝α，∴AP＝csinα，PB＝ccosα，
由(1)同理可得 PF＝
1
2PA＝
csinα
2 ，PE＝
1
2PB＝
ccosα
2 ，
∴AE2＝AP2＋PE2＝c2sin2α＋
c2cos2α
4 ，
BF2＝PB2＋PF2＝c2cos2α＋
c2sin2α
4 ，
∴(
b
2)2＝c2sin2α＋
c2cos2α
4 ，(
a
2)2＝
c2sin2α
4 ＋c2cos2α，
∴
a2
4 ＋
b2
4 ＝
c2sin2α
4 ＋c2cos2α＋c2sin2α＋
c2cos2α
4 ，
∴a2＋b2＝5c2.
(3)如答图 3，连接 AC，EF 交于点 H，AC 与 BE 交于点 Q，设 BE 与 AF 的交点为 P.
∵点 E，G 分别是 AD，CD 的中点，∴EG∥AC.
∵BE⊥EG，∴BE⊥AC.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2 5，∴∠EAH＝∠FCH.
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点，
∴AE＝
1
2AD，BF＝
1
2BC，
∴AE＝BF＝CF＝
1
2AD＝ 5.5
∵AE∥BF，∴四边形 ABFE 是平行四边形，
∴EF＝AB＝3，AP＝PF.
在△AEH 和△CFH 中，Error!
∴△AEH≌△CFH，∴EH＝FH，∴EP，AH 分别是△AFE 的中线，
由(2)的结论得 AF2＋EF2＝5AE2，
∴AF2＝5( 5)2－EF2＝16，∴AF＝4.
或连接 F 与 AB 的中点 M，证 MF 垂直 BP，构造出“中垂三角形”，由AB＝3，BC＝
1
2AD＝
5及(2)中的结论，直接可求 AF.
4．(2017·江西)我们定义：如图 1，在△ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转 α(0°＜α
＜180°)得到 AB′，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 β 得到 AC′，连接 B′C′.当 α＋β＝180°
时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边 B′C′上的中线 AD 叫做△ABC
的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．
特例感知
(1)在图 2，图 3 中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中
线”．
①如图 2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与 BC 的数量关系为 AD＝
1
2BC；
②如图 3，当∠BAC＝90°，BC＝8 时，则 AD 长为 4.
猜想论证
(2)在图 1 中，当△ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明．
拓展应用
(3)如图 4，在四边形 ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2 3，DA＝6.在四
边形内部是否存在点 P，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB
的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
图 1
图 26
图 3
图 4
解：(1)①∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′.∵DB′＝DC′，
∴AD⊥B′C′.
∵∠BAC＝60°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴AD＝
1
2AB′＝
1
2BC.
②∵∠BAC＝90°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°.
∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC＝B′C′.
∵B′D＝DC′，∴AD＝
1
2B′C′＝
1
2BC＝4.
(2)结论：AD＝
1
2BC.
证明如下：
如答图 1，延长 AD 到 M，使得 AD＝DM，连接 B′M，C′M.
∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形 AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC.
第 4 题答图 1
∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，
∠B′AC′＋∠AB′M＝180°，
∴∠BAC＝∠MB′A.∵AB＝AB′，
∴△BAC≌△AB′M，7
∴BC＝AM，∴AD＝
1
2BC.
(3)存在．理由：如答图 2，延长 AD 交 BC 的延长线于 M，作 BE⊥AD 于 E，作线段 BC 的
垂直平分线交 BE 于 P，交 BC 于 F，连接 PA，PD，PC，作△PCD 的中线 PN，
第 4 题答图 2
连接 DF 交 PC 于 O.
∵∠ADC＝150°，
∴∠MDC＝30°.
在 Rt△DCM 中，CD＝2 3，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，
∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°.
在 Rt△BEM 中，∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM＝
1
2BM＝7，∴DE＝EM－DM＝
3.
∵AD＝6，∴AE＝DE.∵BE⊥AD，
∴PA＝PD，PB＝PC.
在 Rt△CDF 中，CD＝2 3，CF＝6，
∴tan∠CDF＝ 3，∴∠CDF＝60°＝∠CPF，
易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF.∵CD∥PF.
∴四边形 CDPF 是矩形，∴∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠ADC－∠CDP＝60°，
∴△ADP 是等边三角形，∴∠ADP＝60°.
∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，
∴∠APD＋∠BPC＝180°，
∴△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”．
在 Rt△PDN 中，∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝ 3，∴PN＝ DN2＋PD2＝ 32＋62
＝ 39.
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