1
第二部分 专题六 类型二
1．(2018·创新同盟联考)已知抛物线y＝a(x－m)2＋2m(m≠0)经过原
点，其顶点为 P，与 x 轴的另一交点为 A.
(1)P 点坐标为 m，2m)；A 点坐标为(2m，0)；(用含 m 的代数式表示)
(2)求出 a，m 之间的关系式；
(3)当 m＞0 时，若抛物线 y＝a(x－m)2＋2m 向下平移 m 个单位后经过(1,1)，求此抛物
线的表达式；
(4)若抛物线 y＝a(x－m)2＋2m 向下平移|m|个单位后与 x 轴所截的线段长，与平移前相
比有什么变化？请直接写出结果．
解：(1)P(m,2m)，A(2m,0)．
(2)将 x＝0，y＝0 代入 y＝a(x－m)2＋2m 得
am2＋2m＝0，∵m≠0, ∴am＋2＝0，
am＝－2，a＝－
2
m.
(3)当 m＞0 时， 抛物线 y＝a(x－m)2＋2m 向下平移 m 个单位后：y＝a(x－m)2＋m，
由于经过(1,1)，∴a(1－m)2＋m＝1，am2－2am＋a＋m＝1，又 am＝－2，
所以 a＝m－3 代入 am＝－2，
解得 a1＝－1, m1＝2；a2＝－2, m2＝1.
此时抛物线的关系式为 y＝－(x－2)2＋4 或 y＝－2(x－1)2＋1.
(4)与 x 轴所截的线段长，与平移前相比是原来的
2
2 或
6
2 倍．
说明：①当 m＞0 时，则 a＜0，原抛物线 y＝a(x－m)2＋2m 经过原点，
故可化为 y＝ax2－2amx，向下平移 m 个单位后为 y＝ax2－2amx－m，(am＝－2，a＝－
2
m)
平移前：d＝2m，平移后：d′＝|x1－x2|＝ 2m，
②当 m＜0 时，则 a＞0，原抛物线 y＝a(x－m)2＋2m 经过原点，
故可化为 y＝ax2－2amx，向下平移－m 个单位后为 y＝ax2－2amx＋m，(am＝－2，a＝－
2
m)
平移前：d＝－2m，平移后：d′＝|x1－x2|＝－ 6m，
∴与 x 轴所截的线段长，与平移前相比是原来的
2
2 或
6
2 倍．
2．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过2
A(0,4)，B(2,0), C(－2,0)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在 x 轴上另有一点 D(－4,0)，将二次函数图象沿着 DA 方向平移，使图象再次经过
点 B；
①求平移后图象的顶点 E 的坐标；
②求图象 A，B 之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积．
解：(1)根据抛物线经过三点的坐标特征，
可设其解析式为 y＝a(x＋2)(x－2)(a≠0)，
再代入点 A(0,4)，解得 a＝－1，
故二次函数的解析式为 y＝－(x＋2)(x－2)＝－x2＋4(a≠0)．
(2)经过点 A(0,4)，D(－4,0)两点的直线 DA，
其解析式为 y＝x＋4.
①抛物线沿着 DA 方向平移后，
设向右平移了 m 个单位，则顶点 E 为(m，m＋4)，
此时抛物线的解析式可设为 y＝－(x－m)2＋(m＋4)，
将点 B(2,0)代入，得 0＝－(2－m)2＋m＋4，
解得 m1＝0(舍去)，m2＝5；
顶点 E 为(5,9)，
②如答图 1，根据抛物线的轴对称性与平移的性质，A，B 之间的曲线部分所扫过的面积
显然等于平行四边形 ABFE 的面积，也等于 2 个△ABE 的面积．
解法一：如答图 2，过点 E 作 EK⊥y 轴于点 K，
S△ABE＝S 梯形 OBEK－S△AOB－S△AKE＝
1
2(2＋5)×9－
1
2×4×2－
1
2×5×5＝15，
图象 A，B 之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积为 2S△ABE＝30.
解法二：如答图 2，过点 E 作 EK⊥y 轴于点 K，过点 B 作 BM⊥x 轴交 KM 于点 M，过点 A
作 AN⊥y 轴交 BM 于点 N(将△ABE 的面积水平与铅直分割——一种面积的常规分割法则)．
3
直线 BM 的解析式是 x＝2，与 DA 直线 y＝x＋4 相交得到点 G 为(2,6)，
所以线段 BG＝6，S△ABE＝S△AGB－S△EGB＝
1
2×6×2＋
1
2×6×3＝15，
所以图象 A，B 之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积为 2S△ABE＝30.
3．如图，抛物线 C1：y1＝ax2＋2ax(a＞0)与 x 轴交于点 A，顶点为点 P.
(1)直接写出抛物线 C1 的对称轴是直线 x＝－1，用含 a 的代数式表示顶点 P 的坐标 (－
1，－a)；
(2)把抛物线 C1 绕点 M(m,0)旋转 180°得到抛物线 C2(其中 m＞0)，抛物线 C2 与 x 轴右
侧的交点为点 B，顶点为点 Q.
①当 m＝1 时，求线段 AB 的长；
②在①的条件下，是否存在△ABP 为等腰三角形，若存在，请求出 a 的值，若不存在，
请说明理由；
③当四边形 APBQ 为矩形时，请求出 m 与 a 之间的数量关系，并直接写出当 a＝3 时矩形
APBQ 的面积．
解：(1)∵抛物线 C1：y1＝ax2＋2ax＝a(x＋1)2－a，∴对称轴是直线 x＝－1，顶点 P 坐
标为(－1，－a)．
(2)①由旋转知，MA＝MB，
当 y1＝0 时，x1＝－2，x2＝0，∴A(－2,0)，
∴AO＝2.
∵M(1,0)，∴AM＝3，∴AB＝2MA＝2×3＝6；
②存在．∵A(－2,0)，AB＝6，∴B(4,0)．
∵A(－2,0)，P(－1，－a)，
∴AP＝ 12＋－a2＝ 1＋a2，BP＝ 25＋a2.
当 AB＝AP 时，1＋a2＝62，解得 a＝ 35(负值已舍去)；
当 AB＝BP 时，25＋a2＝62，解得 a＝ 11(负值已舍去)；
当 AP＝BP 时，1＋a2＝25＋a2，不成立，
即当 a 取 35或 11时，△ABP 为等腰三角形．
③如答图，过点 P 作 PH⊥x 轴于 H，
∵点 A 与点 B，点 P 与点 Q 均关于 M 点成中心对称，故四边形
APBQ 为平行四边形，4
当∠APB＝90°时，四边形 APBQ 为矩形，此时△APH∽△PBH，∴
AH
HP＝
HP
BH，即
1
a＝
a
2m＋3，
∴a2＝2m＋3，∴m＝
1
2a2－
3
2.
当 a＝3 时，m＝
1
2×32－
3
2＝3，
∴S＝(2m＋4)a＝(2×3＋4)×3＝30.
4．(2018·赣南模拟)如图，抛物线 C1：y＝x2＋bx＋c 经过原点，与 x 轴的另一个交点
为(2,0)，将抛物线 C1 向右平移 m(m>0)个单位得到抛物线 C2，C2 交 x 轴于 A，B 两点(点 A
在点 B 的左边)，交 y 轴于点 C.
(1)求抛物线 C1 的解析式以及顶点坐标；
(2)以 AC 为斜边向上作等腰直角三角形 ACD，当顶点 D 落在抛物线 C2 的对称轴上时，求
抛物线 C2 的解析式；
(3)若抛物线 C2 的对称轴上存在点 P，使得△PAC 为等边三角形，求 m 的值．
解：(1) ∵抛物线 C1 经过原点(0,0)及(2,0)，
∴Error!解得 Error!
抛物线 C1 的解析式为 y＝x2－2x＝(x－1)2－1.
其顶点坐标为(1，－1)．
(2)设抛物线 C2 的解析式为 y＝(x－1－m)2－1，
则其对称轴 DE 为 x＝m＋1(m>0)，
化简 y＝(x－1－m)2－1＝x2－2(m＋1)x＋(m＋1)2－1，
设抛物线 C2 与 y 轴交于点 C(0，c)，
则 c＝(1＋m)2－1＝m2＋2m.
过点 C 作 CH⊥DE 于点 H，如答图 1，
∵△ACD 为等腰直角三角形，
∴CD＝AD，∠ADC＝90°，
∴∠CDH＋∠ADE＝90°，∴∠HCD＝∠ADE.
∵∠DEA＝90°，∴△CHD≌△DEA，
∴AE＝HD＝1，CH＝DE＝m＋1，
∴EH＝HD＋DE＝1＋m＋1＝m＋2.
由 OC＝EH 得 m2＋2m＝m＋2，5
解得 m1＝1，m2＝－2(不合题意，舍去)，
∴抛物线 C2 的解析式为 y＝(x－2)2－1.
图 1 图 2
(3)如答图 2，连接 BC，BP，由抛物线对称性可知 AP＝BP，
则点 A(m,0)，对称轴 DE 为直线 x＝m＋1(m>0)，
∴点 B 的坐标为(m＋2,0)．
∵△ACP 为等边三角形，
∴AP＝CP＝BP，∠APC＝60°.
∴C，A，B 三点在以 P 为圆心 PA 为半径的圆上，
∴∠CBO＝
1
2∠CPA＝
1
2×60°＝30°，∴BC＝2OC，
∴根据勾股定理得 OB＝ BC2－OC2＝ 3OC，
∴ 3(m2＋2m)＝m＋2，
解得 m1＝
3
3 ，m2＝－2(不合题意，舍去)，
∴m＝
3
3 .
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