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第二部分 专题四 类型二
1．(2018·重庆)如图，在□ABCD 中，∠ACB＝45°，点 E 在对角线 AC 上，BE＝BA，BF
⊥AC 于点 F，BF 的延长线交 AD 于点 G，点 H 在 BC 的延长线上，且 CH＝AG，连接 EH.
(1)若 BC＝12 2，AB＝13，求 AF 的长；
(2)求证：EB＝EH.
(1)解：∵BF⊥AC，∴∠BFC＝∠AFB＝90°.
在 Rt△FBC 中，sin∠FCB＝
BF
BC，而∠ACB＝45°，BC＝12 2，
∴sin45°＝
BF
12 2 ，
∴BF＝12 2×sin45°＝12 2×
2
2 ＝12.
在 Rt△ABF 中，由勾股定理，得 AF＝ AB2－BF2＝ 132－122＝5.
(2)证明：如答图，在 BF 上取点 M，使 AM＝AG，连接 ME，GE.
∵∠BFC＝90°，∠ACB＝45°，
∴△FBC 是等腰直角三角形，∴FB＝FC.
∵在□ABCD 中，AD∥BC，
∴∠GAC＝∠ACB＝45°，∴∠AGB＝45°.
∵AM＝AG，AF⊥MG，∴∠AMG＝∠AGM＝45°，MF＝GF，∴∠AMB＝∠ECH＝135°.
∵BA＝BE，BF⊥AE，∴AF＝EF，
∴四边形 AMEG 是正方形，
∴FM＝FE，∴BM＝CE.
又∵CH＝AG，∴AM＝CH，∴△AMB≌△HCE，
∴AB＝EH，∴EB＝EH.
2．(2018·烟台)
【问题解决】
一节数学课上，老师提出了一个这样问题：如图 1，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA＝
1，PB＝2，PC＝3，你能求出∠APB 的度数吗？
小明他通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△PBC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到△BP′A，连接 PP′，求出∠APB 的度2
数；
思路二：将△APB 绕点 B 顺时针旋转 90°，得到△CP′B，连接 PP′，求出∠APB 的度
数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图 2，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝ 11，求∠APB 的度数．
解：(1)如答图 1，将△PBC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到△BP′A，连接 PP′.
∵PB＝P′B＝2，∠P′BP＝90°，
∴PP′＝2 2，∠BPP′＝45°.
又∵AP′＝CP＝3，AP＝1，
∴AP2＋P′P2＝1＋8＝9＝P′A2，
∴△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，∴∠APB＝45°＋90°＝135°.
(2)如答图 2，将△PBC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到△BP′A，连接 PP′.
∵PB＝P′B＝1，∠P′BP＝90°，
∴PP′＝ 2，∠BPP′＝45°.
又∵AP′＝CP＝ 11，AP＝3，
∴AP2＋P′P2＝9＋2＝11＝P′A2，
∴△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，
∴∠APB＝90°－45°＝45°.
3．(2018·江西样卷)如图，△ABC 中，AB＝AC，BC＝6，AH⊥BC 于点 H，点 D，点 E 分
别是线段 AB，AC 上的动点(不与点 A，B，C 重合)且 AD＝CE，过点 D 作 DG∥AC 交射线 AH 于
点 G，连接 CG.
(1)求证：四边形 DGCE 是平行四边形；
(2)已知∠BAC＝30°，当 AD 长为多少时，四边形 DGCE 为菱形？并求出 AB 的长．3
(1)证明：如答图 1，
∵AB＝AC，AH⊥BC, ∴∠1＝∠2.
∵DG∥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴DG＝DA.
∵AD＝CE，∴DG＝CE.
∵DG∥AC，∴四边形 DGCE 是平行四边形．
(2)解：当 AD＝3 2时，四边形 DGCE 为菱形．
如答图 2，连接 BG.
∵AH⊥BC ，AB＝AC，∴BH＝CH，
∴AH 垂直平分 BC，∴BG＝CG.
∵四边形 DGCE 是菱形，DG＝CG，∴DA＝BG.
∵DG∥AC, ∴∠BDG＝∠BAC＝30°.
∵AB＝AC, ∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠GBH＝75°－30°＝45°，
∴△BGH 是等腰直角三角形，
∴BG＝DG＝AD＝ 2BH＝3 2.
过点 G 作 GM⊥AB 于 M，则 GM＝
3 2
2 ，DM＝
3 6
2 ，
∴AB＝AD＋2DM＝3 2＋3 6 .
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