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第二部分 专题六 类型三
1．(2017·宜春模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(－2，－4)，
直线 x＝－2 与 x 轴相交于点 B，连接 OA，抛物线 y＝－x2 从点 O 沿 OA 方向平移，
与直线 x＝－2 交于点 P，顶点 M 到点 A 时停止移动．
(1)线段 OA 所在直线的函数解析式是 y＝2x；
(2)设平移后抛物线的顶点 M 的横坐标为 m，问：当 m 为何值时，线段 PA
最长？并求出此时 PA 的长；
(3)若平移后抛物线交 y 轴于点 Q，是否存在点 Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请
求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)y＝2x.
(2)设 M 点的坐标为(m,2m)(－2≤m＜0)，
∴平移后抛物线解析式为 y＝－(x－m)2＋2m.
把 x＝－2 代入 y＝－(x－m)2＋2m，得 y＝－m2－2m－4，
∴P 点的坐标为(－2，－m2－2m－4)，
∴PA＝－m2－2m－4＋4＝－(m＋1)2＋1，
∴当 m＝－1 时，PA 最长，此时 PA＝1.
(3)存在，理由如下：
当 x＝0 时，y＝－(0－m)2＋2m＝－m2＋2m，
则 Q(0，－m2＋2m)，
∵OQ＝m2－2m，OM＝ m2＋2m2＝－ 5m，
当 OM＝OQ，即－ 5m＝m2－2m，即 m2－(2－ 5)m＝0，解得 m1＝0(舍去)， m2＝2－
5，此时 Q 点坐标为(0,2 5－5)；
当 OM＝MQ，作 MH⊥OQ 于 H，如答图 1，则 OH＝QH，－2m＝m2－2m－(－2m)，即 m2＋2m＝
0，解得 m1＝0(舍去)，m2＝－2，此时 Q 点坐标为(0，－8)；
当 QM＝QO，作 QF⊥OM 于 F，如答图 2，则 OF＝MF＝－
5
2 m，
∵OQ∥AB，∴∠QOF＝∠BAO，2
∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，
∴
OF
AB＝
OQ
OA，即
－
5
2 m
4 ＝
m2－2m
2 5 ，整理得 4m2－3m＝0，解得 m1＝0(舍去)，m2＝
3
4(舍去)，
综上所述，满足条件的 Q 点坐标为(0,2 5－5)或(0，－8)．
2．(2018·南昌三模)如图，一次函数 y＝－x－2 的图象与二次函数 y＝ax2＋bx－4 的
图象交于 x 轴上一点 A，与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 C.已知二次函数 y
＝ax2＋bx－4 的图象与 y 轴交于点 D，对称轴为直线 x＝n(n＜0)，n 是方程 2x2－
3x－2＝0 的一个根，连接 AD.
(1)求二次函数的解析式．
(2)当 S△ACB＝3S△ADB 时，求点 C 的坐标．
(3)试判断坐标轴上是否存在这样的点 C，使得以点 A，B，C 组成的三角形与△ADB 相似？
若存在，试求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)在 y＝－x－2 中，令 y＝0，则 x＝－2.
∴A(－2,0)．
由 2x2－3x－2＝0，得 x1＝－
1
2，x2＝2，
∴二次函数 y＝ax2＋bx－4 的对称轴为直线 x＝－
1
2.
∴Error!解得Error!
∴二次函数的解析式为 y＝2x2＋2x－4.
(2)∵S△ADB＝
1
2BD·OA＝2，
∴S△ACB＝3S△ADB＝6.
∵点 C 在 x 轴上，
∴S△ACB＝
1
2AC·OB＝
1
2×2AC＝6，∴AC＝6.
∵点 A 的坐标为(－2,0)，
∴当 S△ACB＝3S△ADB 时，点 C 的坐标为(4,0)或(－8，0)．
(3)存在．
令 x＝0，
∵一次函数与 y 轴的交点为点 B(0，－2)，
∴AB＝ 22＋22＝2 2，
∠OAB＝∠OBA＝45°.
∵在△ABD 中，∠BAD，∠ADB 都不等于 45°，∠ABD＝180°－45°＝135°，
∴点 C 在点 A 的左边，如答图．3
①AC 与 BD 是对应边时，
∵△ADB∽△BCA，
∴
AC
BD＝
AB
AB＝1，
∴AC＝BD＝2，
∴OC＝OA＋AC＝2＋2＝4，
∴点 C 的坐标为(－4,0)．
②当 AC 与 AB 是对应边时，∵△ADB∽△CBA.
∴
AC
AB＝
AB
BD＝
2 2
2 ，∴AC＝ 2AB＝ 2×2 2＝4，
∴OC＝OA＋AC＝2＋4＝6，
∴点 C 的坐标为(－6,0)．
综上所述，在 x 轴上存在点 C，点 C 的坐标为(－4,0)或(－6,0)．使得以点 A，B，C 组
成的三角形与△ADB 相似．
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