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第二部分 专题三 类型三
1．“五一”节，小莉和同学一起到游乐场玩．游乐场的大型摩天轮的半径为 20 m，匀
速旋转 1 周需要 12 min.小莉乘坐最底部的车厢(离地面 0.5 m)开始 1 周的观光，5 min 后小
莉离地面的高度是多少？(精确到 0.1 m．下列数据供参考： 2≈1.414， 3≈1.732， 5
≈2.236)
解：如答图，设经过 5 min 后，小明从点B 到达点 C 的位置．由题意知，OC＝20，∠COA
＝360°×
5
12＝150°.延长 AO 交⊙O 于点 E，过点 C 作 CD⊥AE，垂足为 D.
在 Rt△COD 中，∵∠COD＝180°－∠COA＝180°－150°＝30°，∴OD＝
OC·cos∠COD＝20×cos 30°＝10 3.∴AD＝AB＋BO＋OD＝0.5＋20＋10
3≈37.8(m)．
答：5 min 后小莉离地面的高度约为 37.8 m.
2．(2018·遂川模拟)如图 1 是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图 2 所
示，直线型支架的上端 A，B 与台面下方相连，与圆弧形底座支架 EF 在 C，D 处相连接，支
架 AC 与 BD 所在的直线过EF
︵
的圆心，若 AB＝200 cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，EC
︵
＝FD
︵
，AB 平
行于地面 EF，EF
︵
最顶端与 AB 的距离为 2 cm.
(1)求EF
︵
的半径；
(2)若台面 AB 与地面 EF 之间的距离为 72 cm，求 E，F 两点之间的距离．
(精确到 1 cm，参考数据： 3≈1.7， 1682－982≈137)
解：(1)如答图，延长 AC，BD 交于一点 O，过 O 点作 OM⊥AB 于 M 交EF
︵
于点 N，EF 交 OM
于点 K.2
第 2 题答图
∵∠CAB＝∠DBA＝60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝200 cm，
∵OM⊥AB，∴OM＝100 3，
∵MN＝2，∴ON＝100 3－2＝168(cm)，∴EF
︵
的半径为 168 cm.
(2)连接 OF.在 Rt△OFK 中，OK＝OM－KM＝170－72＝98，
∴FK＝ OF2－OK2＝ 1682－982≈137(cm)，
∵EF∥AB，OM⊥AB，∴OK⊥EF，∴EK＝KF，
∴EF＝274 cm.
3．如图是某种直径型号的地球仪的支架示意图，弧 AB 是半圆弧，经测量点 A 距离水平
线 CD 的距离为 27.7 厘米， 点 B 距离水平线 CD 的距离为 9.4 厘米，直径 AB 所在直线与竖
直线形成的锐角为 23.5°，试问它是哪种直径型号的地球仪的支架？(计算结果精确到个位，
可 使 用 科 学 计 算 器 ， 参 考 数 据 ： sin23.5°≈0.3987, cos23.5°≈0.9171 ，
tan23.5°≈0.4348)
解：如答图，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，过点 B 作 BH⊥CD 于点 H，连接 BE，AB，
第 3 题答图
∵弧 AB 是半圆弧，∴AB 是直径，
∴∠AEB＝90°，∴∠BEF＝90°，
∵AF⊥CD，BH⊥CD，
∴四边形 BEFH 是矩形，
∴EF＝BH＝9.4，
∴AE＝AF－EF＝27.7－9.4＝18.3.3
∵∠FAB＝23.5°，∴AB＝
AE
cos23.5°＝
18.3
0.9171≈20，
∴它是直径约为 20 厘米的地球仪的支架．
4．(2017·赣州模拟)摇椅是老年人很好的休闲工具，右图是一张摇椅放在客厅的侧面
示意图，摇椅静止时，以 O 为圆心 OA 为半径的AB
︵
的中点 P 着地，地面 NP 与AB
︵
相切，已知∠AOB
＝60°，半径 OA＝60 cm，靠背 CD 与 OA 的夹角∠ACD＝127°，C 为 OA 的中点，CD＝80 cm，
当摇椅沿AB
︵
滚动至点 A 着地时是摇椅向后的最大安全角度．
(1)静止时靠背 CD 的最高点 D 离地面多高？
(2)静止时着地点 P 至少离墙壁 MN 的水平距离是多少时？才能使摇椅向后至最大安全
角度时点 D 不与墙壁 MN 相碰．
( 精 确 到 1 cm ， 参 考 数 据 π 取 3.14 ， sin37°≈0.60 ， cos37°≈0.80 ，
tan37°≈0.75，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36， 2≈1.41， 3≈1.73)
解：(1)如答图 1，过 F 点作 CF⊥DF，DF∥NP，CF 和 DF 交于点 F，则∠DFC＝90°.
∵P 为AB
︵
的中点，∠AOB＝60°，∴∠COP＝30°.
又∵OP∥FC，∴∠FCO＝30°，
∴∠DCF＝180°－127°－30°＝23°.
在 Rt△DFC 中，cos∠DCF＝
FC
CD，
∴FC＝80×cos23°＝80×sin67°＝80×0.92＝73.6.
在 Rt△COE 中，cos∠COE＝
OE
OC，
OE＝30×cos30°＝30×
3
2 ＝15 3.
D 离地面总高度为 CF＋EP＝CF＋(OP－OE)＝73.6＋60－15 3≈107.62≈108(cm)；
(2)如答图 2，过点 C 作 CE⊥MN，垂足为 E，
则∠DCE＝127°－90°＝37°.4
在 Rt△DCE 中，cos∠DCE＝
EC
CD，
∴EC＝80×cos37°＝80×0.8＝64.
AP′＝
30π·60
180 ＝10π＝10×3.14＝31.4.
NP＝EC＋AP′＝64＋31.4＝95.4≈96.
答：静止时的着地点 P 至少要离墙壁 MN 的水平距离为 96 cm 时，才能使摇椅向后至最
大安全角度时点 D 不与墙壁 MN 相碰．
5．(2019·原创)如图，有一时钟，时针 OA 长为 6 cm，分针 OB 长为 8 cm，△OAB 随着
时间的变化不停地改变形状．求：
(1)13 时整时， △OAB 的面积是多少？
(2)14 时整时， △OAB 的面积比 13 时整时增大了还是减少了？为什么？
(3)问几时整时， △OAB 的面积最大？最大面积是多少？并说明理由．
(4)设∠BOA＝α(0°≤α≤180°)，试归纳 α 变化时△OAB 的面积有何变化规律(不证
明)．
解：如答图，分别过 B 作 BE⊥OA 于点 E.(E 也可在 OA 的延长线上)
(1)如答图 1，在 13 时整时， ∠BOA＝30°，
BE＝
1
2OB＝4，S△OAB＝
1
2×4×6＝12(cm2)．
(2)如答图 2，在 14 时整时，∠BOA＝60°，
BE
OB＝sin60°，BE＝8×
3
2 ＝4 3，S△OAB＝
1
2×4 3×6＝12 3.
∵12 3>12，
∴14 时整时比 13 时整的△ABO 的面积增大了．
(3)当 15 时或 21 时整时，如答图 3，△OAB 的面积最大，
此时 BE 最长，BE＝OB＝8，而 OA 不变，
S△ABO＝
1
2×8×6＝24.5
(4)当 α＝0°，180°时不构成三角形，
当 0°＜α≤90°时，S△AOB 的值随 α 增大而增大，
当 90°＜α＜180°时，S△AOB 的值随 α 增大而减少．
6．(2018·江西样卷)如图 1 是一个演讲台，图 2 为演讲台的侧面示意图，支架BC 是一
条圆弧，台面与两支架的连接点 A，B 间的距离为 30 cm, CD 为水平底面，且 BD 所在的直线
垂直于底面，∠ADC＝75°，∠DAB＝60°.
(1)求台面上点 B 处的高度(精确到个位)；
(2)如图 3，若圆弧 BC 所在圆的圆心 O 在 CD 延长线上，且 OD＝CD，求支架 BC 的长度(结
果保留根号)．
(参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26， 3≈1.7)
解：(1)如答图，连接 BD，过点 B 作 BE⊥AD，垂足为 E.
在 Rt△ABE 中，BE＝AB· sin∠EAB＝30×sin60°＝30×
3
2 ≈25.5(cm)．
∵∠ADC＝75°，∴∠ADB＝90°－∠ADC＝15°.
∴∠EBD＝90°－∠ADB＝90°－15°＝75°.
在 Rt△BDE 中，BD＝
BE
cos∠EBD≈
25.5
cos75°≈
25.5
0.26≈98(cm)．
即台面上点 B 处的高度约为 98 cm.
第 6 题答图
(2)连接 BC，BO，
∵BD⊥CO，OD＝CD，∴BC＝BO.
又 CO＝BO，
∴△BOC 是等边三角形，∠BOC＝60°.
∴sin60°＝
BD
BO，BO＝
BD
sin60°＝
98
3
2
＝
196 3
3 ，∴支架 BC 的长度为
196 3
3 (cm)．
答：支架 BC 的长度为
196 3
3 cm.
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