1
第二部分 专题六 类型五
1．对于直线 l1：y＝ax＋b(a＜0，b＞0)，有如下定义：我们把直线 l2：y＝－
1
a(x＋b)
称为它的“姊线”．若l1 与 x，y 轴分别相交于 A，B 两点，l2 与 x，y 轴分别相交于 C，D 两
点，我们把经过点 A，B，C 的抛物线 C 叫做 l1 的“母线”．
(1)若直线 l1：y＝ax＋b(a＜0，b＞0)的“母线”为C：y＝－
1
2x2－x＋4，求 a，b 的值；
(2)如图，若直线 l1：y＝mx＋1(m＜0)，G 为 AB 中点，H 为 CD 中点，连接 GH，M 为 GH
中点，连接 OM，若 OM＝
5
6 ，求出 l1 的“姊线”l2 与“母线”C 的函数解析式；
(3)将 l1：y＝－3x＋3 的“姊线”绕着 D 点旋转得到新的直线 l3：y＝kx＋n，若点
P(x，y1)与点 Q(x，y2)分别是“母线”C 与直线 l3 上的点，当 0≤x≤1 时，|y1－y2|≤3，
求 k 的取值范围．
解：(1)对于抛物线 y＝－
1
2x2－x＋4，令 x＝0，得到 y＝4，∴B(0,4)，
令 y＝0，得到－
1
2x2－x＋4＝0，解得 x＝－4 或 2，∴A(2,0)，C(－4,0)．
∵y＝ax＋b 的图象过点 A，B，
∴Error!解得Error!
(2)如答图所示，连接 OG，OH.
∵点 G，H 为斜边中点，∴OG＝
1
2AB，OH＝
1
2CD.
∵l1：y＝mx＋1，∴l1 的“姊线”l2 为 y＝－
1
m(x＋1)，
∴B(0,1)，A(－
1
m，0)，D(－1,0)，C(0，－
1
m)，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，
∴AB＝CD，∠ABO＝∠CDO，∴OG＝OH.
∵OG＝GB，OH＝HC，
∴∠GOB＝∠ABO，∠HOC＝∠OCD.
∵∠ODC＋∠OCD＝90°，∴∠ABO＋∠OCD＝90°，2
∴∠GOB＋∠HOC＝90°，∴∠HOG＝90°，
∴OG⊥OH，
∴△OGH 为等腰直角三角形．
∵点 M 为 GH 中点，∴△OMG 为等腰直角三角形，
∴OG＝ 2OM＝
10
6 ，∴AB＝2OG＝
10
3 ，
∴OA＝
10
3 2－12＝
1
3，
∴A(
1
3，0)，∴C(0，
1
3)，D(－1,0)．
∴l1 的“姊线”l2 的函数解析式为 y＝
1
3x＋
1
3，“母线”C 的函数的解析式为 y＝－3x2－
2x＋1.
(3)l1：y＝－3x＋3 的“姊线”的解析式为y＝
1
3x＋1，“母线”C 的解析式为 y＝－x2－2x
＋3，
∴直线 l3：y＝kx＋1，
∵当 0≤x≤1 时，|y1－y2|≤3，
不妨设 x＝1，则 y1＝0，y2＝k＋1，由题意 k＋1＝±3，解得 k＝2 或－4，
∴满足条件的 k 是取值范围为－4≤k≤2.
2．我们定义：两个二次项系数之和为 1，对称轴相同，且图象与 y 轴交点也相同的二
次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2＋4x－5 的友好同轴二次函数为 y＝－x2－2x－5.
(1)请你分别写出 y＝－
1
3x2，y＝
1
3x2＋x－5 的友好同轴二次函数；
(2)满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好
同轴二次函数是它本身？
(3)如图，二次函数 L1：y＝ax2－4ax＋1 与其友好同轴二次函数 L2
都与 y 轴交于点 A，点 B，C 分别在 L1，L2 上，点 B，C 的横坐标均为 m(0＜m＜
2) ，它们关于 L1 的对称轴的对称点分别为 B′ ，C′ ，连接 BB′ ，
B′C′，C′C，CB.
①若 a＝3，且四边形 BB′C′C 为正方形，求 m 的值；
②若 m＝1，且四边形 BB′C′C 的邻边之比为 1∶2，直接写出 a 的值．
解：(1)∵1－(－
1
3)＝
4
3，
∴函数 y＝－
1
3x2 的友好同轴二次函数为 y＝
4
3x2.3
∵1－
1
3＝
2
3，1×(
2
3÷
1
3)＝2，
∴函数 y＝
1
3x2＋x－5 的友好同轴二次函数为 y＝
2
3x2＋2x－5.
(2)∵1－1＝0，∴二次项系数为 1 的二次函数没有友好同轴二次函数．
∵1÷2＝
1
2，∴二次项系数为
1
2的二次函数的友好同轴二次函数是它本身．
(3)∵二次函数 L1：y＝ax2－4ax＋1 的对称轴为直线 x＝－
－4a
2a ＝2，
∴其友好同轴二次函数 L2：y＝(1－a)x2－4(1－a)x＋1.
①∵a＝3，∴二次函数 L1：y＝ax2－4ax＋1＝3x2－12x＋1，二次函数 L2：y＝(1－a)x2－
4(1－a)x＋1＝－2x2＋8x＋1，∴点 B 的坐标为(m,3m2－12m＋1)，点 C 的坐标为(m，－2m2＋
8m＋1)，
∴点 B′的坐标为(4－m,3m2－12m＋1)，
点 C′的坐标为(4－m，－2m2＋8m＋1)，
∴BC＝－2m2＋8m＋1－(3m2－12m＋1)＝－5m2＋20m，BB′＝4－m－m＝4－2m.
∵四边形 BB′C′C 为正方形，
∴BC＝BB′，即－5m2＋20m＝4－2m，
解得 m1＝
11－ 101
5 ，m2＝
11＋ 101
5 (不合题意，舍去)，∴m 的值为
11－ 101
5 .
②当 m＝1 时，点 B 的坐标为(1，－3a＋1)，
点 C 的坐标为(1,3a－2)，
∴点 B′的坐标为(3，－3a＋1)，
点 C′的坐标为(3,3a－2)，
∴BC＝|3a－2－(－3a＋1)|＝|6a－3|，
BB′＝3－1＝2.
∵四边形 BB′C′C 的邻边之比为 1∶2，
∴BC＝2BB′或 BB′＝2BC，即|6a－3|＝2×2 或 2＝2|6a－3|，解得 a1＝－
1
6，a2＝
7
6，a3
＝
1
3，a4＝
2
3，∴a 的值为－
1
6，
7
6，
1
3或
2
3.
3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量 x，
这两个函数对应的函数值记为 y1，y2，都有点(x，y1)和(x，y2)关于点(x，x)中心对称(包
括三个点重合时)，由于对称中心都在直线 y＝x 上，所以称这两个函数为关于直线 y＝x 的
特别对称函数．例如：y＝
1
2x 和 y＝
3
2x 为关于直线 y＝x 的特别对称函数．
(1)若 y＝3x＋2 和 y＝kx＋t(k≠0)为关于直线 y＝x 的特别对称函数，点 M(1，m)是 y＝4
3x＋2 上一点．
①点 M(1，m)关于点(1,1)中心对称的点坐标为 (1，－3).
②求 k，t 的值．
(2)若 y＝3x＋n 的图象和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，求 n
的值．
(3)若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 和 y＝x2＋d 为关于直线 y＝x 的特别对称函数．
①直接写出 a，b 的值．
②已知点 P(－3,1)，点 Q(2,1)，连接 PQ，直接写出 y＝ax2＋bx＋c 和 y＝x2＋d 两条抛
物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围．
解：(1)①∵点 M(1，m)是 y＝3x＋2 上一点，
∴m＝5，∴M(1,5)，
∴点 M 关于(1,1)中心对称点坐标为(1，－3)．
②∵y＝3x＋2 和 y＝kx＋t(k≠0)为关于直线 y＝x 的特别对称函数，∴
3x＋2＋kx＋t
2 ＝
x，
∴(1＋k)x＋(t＋2)＝0，∴k＝－1，t＝－2.
(2)设 y＝3x＋n 的特别对称函数为 y＝m′x＋n′，
∴
3x＋n＋m′x＋n′
2 ＝x，∴(1＋m′)x＋n＋n′＝0，∴m′＝－1，n′＝－n，
∴y＝3x＋n 的特别对称函数为 y＝－x－n，
联立得Error!解得Error!
∵y＝3x＋n 的图象和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，∴
1
2|n－
(－n)|×|－
1
2n|＝2，∴n＝±2.
(3)①∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 和 y＝x2＋d 为关于直线 y＝x 的特别对称函数，
∴
ax2＋bx＋c＋x2＋d
2 ＝x，
∴(a＋1)x2＋(b－2)x＋c＋d＝0，
∴a＝－1，b＝2，c＝－d；
②由①知，a＝－1，b＝2，c＝－d，
∴二次函数 y＝－x2＋2x－d 和 y＝x2＋d，
∴这两个函数的对称轴为直线 x＝1 和 x＝0.
∵点 P(－3,1)，点 Q(2,1)，当 d＜0 时，如答图 1，
当抛物线 C2：y＝x2＋d 恰好过点 P(－3,1)时，即 9＋d＝1，d＝－8，
当抛物线 C1：y＝－x2＋2x－d 恰好过点 Q(2,1)时，即－4＋4－d＝1，∴d＝－1，5
y＝ax2＋bx＋c 和 y＝x2＋d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为－
8≤d＜－1，
如答图 2，当 0≤d＜1 时，抛物线 C2 与线段 PQ 有两个交点，而抛物线 C1 与线段 PQ 没
有交点，
∴y＝ax2＋bx＋c 和 y＝x2＋d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为
0≤d＜1，
即：y＝ax2＋bx＋c 和 y＝x2＋d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围
为－8≤d＜－1 或 0≤d＜1.
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