1
第二部分 专题六 类型四
1．在平面直角坐标系中 xOy 中，正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方
式放置．点 A1，A2，A3，…，An 和点 C1，C2，C3，…，Cn 分别落在直线 y＝x＋
1 和 x 轴上．抛物线 L1 过点 A1，B1，且顶点在直线 y＝x＋1 上，抛物线 L2 过
点 A2，B2，且顶点在直线 y＝x＋1 上，…，按此规律，抛物线 Ln 过点 An，Bn，
且顶点也在直线 y＝x＋1 上，其中抛物线 L2 交正方形 A1B1C1O 的边 A1B1 于点
D1，抛物线 L3 交正方形 A2B2C2C1 的边 A2B2 于点 D2，…，抛物线 Ln＋1 交正方形
AnBnCnCn－1 的边 AnBn 于点 Dn(其中 n≥2 且 n 为正整数)．
(1)直接写出下列点的坐标：B1 (1,1)，B2 (3,2)，B3_(7,4)_ _；
(2)写出抛物线 L2，L3 的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线 Ln
的顶点坐标 (3×2n－2－1,3×2n－2)；
(3)① 设 A1D1＝k1·D1B1，A2D2＝k2·D2B2，试判断 k1 与 k2 的数量关系并说明理由；
②点 D1，D2，…，Dn 是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线 y＝x＋1 的交
点坐标；若不是，请说明理由.
解：(1)B1(1,1)，B2(3,2)，B3(7,4)．
(2)抛物线 L2，L3 的解析式分别为 y2＝－(x－2)2＋3，y3＝－
1
2(x－5)2＋6.
抛物线 L2 的解析式的求解过程：
对于直线 y＝x＋1，设 x＝0，可得 y＝1，∴A1(0,1)．
∵四边形 A1B1C1O 是正方形，
∴C1(1,0)．又∵点 A2 在直线 y＝x＋1 上，
∴可得点 A2(1,2)，又∵B2 的坐标为(3,2)，
∴抛物线 L2 的对称轴为直线 x＝2，
∴抛物线 L2 的顶点坐标为(2,3)，
设抛物线 L2 的解析式为 y＝a(x－2)2＋3，
∵L2 过点 B2(3,2)，∴当 x＝3 时，y＝2，
∴2＝a×(3－2)2＋3，解得 a＝－1，
∴抛物线 L2 的解析式为 y＝－(x－2)2＋3.
抛物线 L3 的解析式的求解过程：
∵B3 的坐标为(7,4)，同上可求得点 A3 的坐标为(3,4),
∴抛物线 L3 的对称轴为直线 x＝5，
∴抛物线 L3 的顶点为(5,6)．2
设抛物线 L3 的解析式为 y＝a(x－5)2＋6，
∵L3 过点 B3(7,4)，∴当 x＝7 时，y＝4,
∴4＝a×(7－5)2＋6，解得 a＝－
1
2，
∴抛物线 L3 的解析式为 y＝－
1
2(x－5)2＋6.
猜想抛物线 Ln 的顶点坐标为(3×2n－2－1,3×2n－2)．
猜想过程：
方法 1：可由抛物线 L1，L2，L3，…的解析式为 y1＝－2(x－
1
2)2＋
3
2，y2＝－(x－2)2＋
3，y3＝－
1
2(x－5)2＋6，…，归纳总结．
方法 2：可由正方形 AnBnCnCn－1 顶点 An，Bn 的坐标规律 An(2n－1－1,2n－1)与 Bn(2n－1,2n－
1) ， 再 利 用 对 称 性 可 得 抛 物 线 Ln 的 对 称 轴 为 直 线 x ＝
2n－1＋2n－1－1
2 ， 即 x ＝
2n－21＋2－2
2 ＝3×2n－2－1.又∵顶点在直线 y＝x＋1 上，
∴可得抛物线 Ln 的顶点坐标为(3×2n－2－1,3×2n－2)；
(3)①k1 与 k2 的数量关系为 k1＝k2.
理由如下：同(2)可求得 L2 的解析式为 y＝－(x－2)2＋3，
当 y＝1 时，1＝－(x－2)2＋3，解得 x1＝2－ 2，x2＝2＋ 2，∴A1D1＝2－ 2＝ 2( 2
－1)，
∴D1B1＝1－(2－ 2)＝ 2－1，
∴A1D1＝ 2·D1B1，即 k1＝ 2.
同理可求得 A2D2＝4－2 2＝2 2( 2－1)，
D2B2＝2－(4－2 2)＝2 2－2＝2( 2－1)，
∴A2D2＝ 2·D2B2，即 k2＝ 2，∴k1＝k2.
②∵由①知，k1＝k2，
∴点 D1，D2，…，Dn 在一条直线上；
∵抛物线 L2 的解析式为 y＝－(x－2)2＋3，
∴当 y＝1 时，x＝2－ 2，∴D1(2－ 2，1)；
同理，D2(5－2 2，2)，
∴设直线 D1D2 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
则Error!解得Error!
∴直线 D1D2 的解析式为 y＝
3＋ 2
7 x＋
3＋ 2
7 ，
∴Error!解得Error!3
这条直线与直线 y＝x＋1 的交点坐标为(－1,0)．
2．在平面直角坐标系中，有一组有规律的点：
A1(0,1)，A2(1,0)，A3(2,1)，A4(3,0)，A5(4,1)，….依此规律可知，
当 n 为奇数时，有点 An (n－1,1)，当 n 为偶数时，有点 An(n－1,0)．
抛物线 C1 经过 A1，A2，A3 三点，抛物线 C2 经过 A2，A3，A4 三点，抛物线 C3 经过 A3，A4，
A5 三点，…，抛物线 Cn 经过 An，An＋1，An＋2 三点．
(1)直接写出抛物线 Cn 的解析式；
(2)若点 E(e，f1)，F(e，f2)分别在抛物线 C27，C28 上，当 e＝29 时，请判断△A26EF 是
什么形状的三角形并说明理由；
第 2 题图
(3)若直线 x＝m 分别交 x 轴，抛物线 C2 017，C2 018 于点 P，M，N，作直线 A2 018 M，A2 018
N，当∠PA2 018M＝45°时，求 sin∠PA2 018N 的值．
解：(1)根据顶点式容易求出 C1，C2，C3，C4 的解析式分别为：
y1＝(x－1)2；
y3＝(x－3)2；
……
y2＝－(x－2)2＋1；
y4＝－(x－4)2＋1；
……
可以发现这组抛物线解析式的特点：
当 n 为奇数时，yn＝(x－n)2；
当 n 为偶数时，yn＝－(x－n)2＋1.
(2)△A26EF 是等腰直角三角形．如答图 1，
由一般到特殊，可得抛物线 C27 的解析式为 y27＝(x－27)2，且过点 A27，A28，A29 ，抛物
线 C28 的解析式为 y28＝－(x－28)2＋1，且过点 A28，A29，A30.∵点 E(e，f1)，F(e，f2)分别
在抛物线 C27，C28 上，e＝29，
∴f1＝(29－27)2＝4, f2＝－(29－28)2＋1＝0，
∴点 E(e，f1)，F(e，f2)坐标分别为 E(29,4)，F(29,0)；
∵A26 的坐标是(25,0)，点 F(29,0)与点 A30 重合，
∴A26A30＝29－25＝4，EF＝4，且与 y 轴平行，4
∠EF A26＝90°，
∴△A26EF 是等腰直角三角形．
图 1
图 2
第 2 题答图
(3)由(1)中发现的规律可知，抛物线 C2 017，C2 018 的解析式分别为 y2 017＝(x－2 017)2，
y2 018＝－(x－2 018)2＋1.点 A2 018 坐标为(2 017,0)．
由(2)的研究经验发现，可以退回到简单的抛物线 C3，C4 的情况来研究．
如答图 2，在点 A2 018(2 017,0)的左侧，当 m＝2 016 时，M(2 016,1)，此时有∠PA2 018M
＝45°，N(2 016，－3)，sin∠PA2 018N＝
3 10
10 ；
在点 A2 018(2 017,0)的右侧，当 m＝2 018 时，M(2 018,1)，此时有∠PA2 018M＝45°，
N(2 018,1)，sin∠PA2 018N＝
2
2 .
综上，当∠PA2 018M＝45°时，sin∠PA2 018N＝
3 10
10 或
2
2 .
3．(2018·江西模拟)已知抛物线 Cn：yn＝－
1
2x2＋(n－1)x＋2n(其中 n 为正整数)与 x
轴交于 An，Bn 两点(点 An 在 Bn 的左边)，与 y 轴交于点 Dn.
(1)填空：①当 n＝1 时，点 A1 的坐标为 (－2,0)，点 B1 的坐标为(2,0)；
②当 n＝2 时，点 A2 的坐标为 (－2,0)，点 B2 的坐标为 (4,0)；
(2)猜想抛物线 Cn 是否经过某一个定点，若经过请写出该定点坐标并给予证明；若不经
过，请说明理由；
(3)①判断△A2D2B4 的形状；
②猜想∠AnDnBn2 的大小，并给予证明．
解：(1)①n＝1 时，抛物线解析式为 y＝－
1
2x2＋2，
当 y＝0 时，－
1
2x2＋2＝0，解得 x1＝2，x2＝－2，5
∴点 A1 的坐标为(－2,0)，点 B1 的坐标为(2,0)；
②当 n＝2 时，抛物线解析式为 y＝－
1
2x2＋x＋4，
当 y＝0 时，－
1
2x2＋x＋4＝0，解得 x1＝－2，x2＝4，
∴点 A2 的坐标为(－2,0)，点 B2 的坐标为(4,0)．
(2)yn＝－
1
2x2＋(n－1)x＋2n＝－
1
2(x＋2)(x－2n)，
当 x＝－2 时，y＝0，
所以抛物线 Cn 经过定点(－2,0)．
(3)①n＝2，抛物线解析式为 y＝－
1
2x2＋x＋4，
当 x＝0 时，y＝4，则 D2(0,4)，
∵n＝4 时，抛物线解析式为 y＝－
1
2x2＋3x＋8，
当 y＝0 时，－
1
2x2＋3x＋8＝0，解得 x1＝－2，x2＝8，
∴点 B4 的坐标为(8,0)．
∵A2D22＝22＋42＝20，B4D22＝82＋42＝80，B4A22＝102＝100，
∴A2D22＋B4D22＝B4A22，
∴△A2D2B4 的形状为直角三角形，∠A2D2B4＝90°；
②∠AnDnBn2＝90°.理由如下：
当 y＝0 时，yn＝－
1
2(x＋2)(x－2n)＝0，
解得 x1＝－2，x2＝2n，
∴点 An 的坐标(－2,0)，点 Bn 的坐标为(2n,0)；
∴点 Bn2 的坐标为(2n2,0)，
而 Dn(0,2n)，
∵AnD2n＝(2n)2＋22＝4n2＋4，Bn2D2n＝(2n2)2＋4n2＝4n4＋4n2，Bn2A2n＝(2n2＋2)2＝4n4＋8n2＋
4，
∴AnD2n＋Bn2D2n＝Bn2A2n，
∴△AnDnBn2 为直角三角形，∠AnDnBn2＝90°.
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