课时作业(三十二)
[22.5 第1课时 菱形的性质]
一、选择题
1．如图K－32－1，在菱形ABCD中，E是AC的中点，F是AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为( )
图K－32－1
A．24 B．18 C．12 D．9
2．下列性质中，菱形不具有的是( )
A．对角线互相垂直
B．对角线所在直线是对称轴
C．对角线相等
D．对角线互相平分
3．2017·廊坊文安期中已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的长度之比是4∶3，则这个菱形的面积是( )
A．12 cm2 B．24 cm2
C．48 cm2 D．96 cm2
4．2017·河北求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图K－32－2，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.
图K－32－2
求证：AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO，
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD.
③∵四边形ABCD是菱形，
④∴AB＝AD.
证明步骤正确的顺序是( )
A．③→②→①→④ B．③→④→①→②
C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
5．2017·河北一模如图K－32－3，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF的度数为( )
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图K－32－3
A．55° B．65° C．75° D．85°
6．如图K－32－4，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，若AE＝3，则四边形AECF的周长为( )
图K－32－4
A．22 B．18 C．14 D．11
二、填空题
7．如图K－32－5，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O.若∠BCO＝55°，则∠ADO＝________°.
图K－32－5
8．如图K－32－6，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为________.
图K－32－6
9．如图K－32－7，在平面直角坐标系中，菱形OBCA的顶点O，A的坐标分别是(0，0)，(2，1)，则顶点C的坐标是________．
图K－32－7
三、解答题
10．如图K－32－8，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：DF＝BE.
图K－32－8
6
11．如图K－32－9，O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.
求证：OE＝BC.
图K－32－9
12．准备一张矩形纸片，按图K－32－10操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
图K－32－10
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实际应用题植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm，如图K－32－11所示．已知每个菱形图案的边长为10 cm，其中一个内角为60°.
图K－32－11
(1)若d＝26 cm，该纹饰需要231个菱形图案，求纹饰的长度L；
(2)当d＝20 cm时，若保持(1)中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？
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详解详析
[课堂达标]
1．A [解析] ∵E，F分别是AC，AB的中点且EF＝3，∴BC＝2EF＝6.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝6，∴菱形ABCD的周长为6×4＝24.故选A.
2．C [解析] ∵菱形对角线具有的性质：对角线互相垂直，对角线互相平分，对角线所在直线是对称轴，故A，B，D正确，C错误．故选C.
3．B
4．B [解析] 根据菱形的性质，首先得到AB＝AD和BO＝DO，再根据等腰三角形的“三线合一”证明AC⊥BD，所以证明步骤正确的顺序是③→④→①→②.故答案为B.
5．C [解析] 连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，∠BCF＝∠DCF，BC＝DC，∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－70°＝110°，∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CDF＝∠CBF.
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，∴∠ABF＝∠BAC＝35°，
∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝110°－35°＝75°，
∴∠CDF＝75°.
6．A 7.35
8．24 [解析] ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE＝3，且E为线段AD的中点，∴AD＝2OE＝6，∴C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24.
9．(4，0) [解析] ∵菱形OBCA的顶点O，A的坐标分别是(0，0)，(2，1)，∴OC＝4，
∴点C的坐标是(4，0)．
10．证明：方法一：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBE＝∠CDF.
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴∠CFD＝∠CEB＝90°.
在△CBE和△CDF中，
∠CEB＝∠CFD，∠CBE＝∠CDF，CB＝CD，
∴△CBE≌△CDF，∴DF＝BE.
方法二：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，AC平分∠DAB.
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CE＝CF，∠CFD＝∠CEB＝90°.
在Rt△CBE和Rt△CDF中，
CB＝CD，CE＝CF，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF(HL)，
∴DF＝BE.
11．[解析] 先证出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明▱OCED是矩形，从而得OE＝CD，由BC＝CD，得OE＝BC.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
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∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD＝90°，BC＝CD，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD，∴OE＝BC.
12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB.
由折叠可知∠ABE＝∠EBM，∠CDF＝∠FDN，
∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF.
又∵ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
(2)∵四边形BFDE为菱形，
∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠A＝90°，
∴∠ABE＝30°.
又∵AB＝2，
∴AE＝，BF＝BE＝2AE＝，
∴菱形BFDE的面积为×2＝.
[素养提升]
解：(1)一个菱形图案水平方向的对角线长为×2＝30(cm)．
依题意，L＝30＋26×(231－1)＝6010(cm)．
答：纹饰的长度L为6010 cm.
(2)当d＝20 cm时，设需要x个这样的菱形图案，则有30＋20(x－1)＝6010，解得x＝300.
答：需要300个这样的菱形图案．
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