课时作业(二十九)
[22.3 三角形的中位线]
一、选择题
1. 在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC＝5，则DE的长是( )
A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 15
2．如图K－29－1，在等边三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为( )
图K－29－1
A．30° B．60° C．120° D．150°
3. 如图K－29－2，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围起来放养小鸡，则需用篱笆的长是( )
图K－29－2
A. 15米 B. 20米 C. 25米 D. 30米
4．如图K－29－3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为( )
图K－29－3
A．1 B．2 C. D．1＋
5．2018·泸州如图K－29－4，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE＋EO＝4，则▱ABCD的周长为( )
图K－29－4
A．20 B．16 C．12 D．8
6．2017·廊坊文安期中如图K－29－5，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是( )
7
图K－29－5
A．7 B．9 C．10 D．11
7. 如图K－29－6，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM.若AB＝5 cm，BC＝8 cm，DE＝4 cm，则图中阴影部分的面积为( )
图K－29－6
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3
8. 如图K－29－7，小红作出了边长为1的第一个等边三角形A1B1C1，算出了等边三角形A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第二个等边三角形A2B2C2，算出了等边三角形A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第三个等边三角形A3B3C3，算出了等边三角形A3B3C3的面积，…，由此可得，第八个等边三角形A8B8C8的面积是( )
图K－29－7
A. × B. ×
C. × D. ×
二、填空题
9．如图K－29－8，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点．若EF＝1，则BD＝________．
图K－29－8
10．2017·河北如图K－29－9，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200 m，则A，B两点间的距离为________m.
7
图K－29－9
11．一个三角形的三条中位线的总长为13 cm，则这个三角形的周长为________cm.
12．如图K－29－10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC.若AB＝10，则EF的长是________．
图K－29－10
13. 如图K－29－11，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E，F分别是AB，BC的中点．若∠1＝35°，则∠D＝________°.
图K－29－11
14．如图K－29－12，在△ABD中，C是BD上一点，若E，F分别是AC，AB的中点，△DEF的面积为4.5，则△ABC的面积为________．
图K－29－12
三、解答题
15. 如图K－29－13所示，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE和AF交于点O.
求证：DE与AF互相平分.
图K－29－13
7
16．如图K－29－14，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC.求证：四边形OCFE是平行四边形．
图K－29－14
17．如图K－29－15，在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E是BC的中点．
求证：(1)DE∥AB；
(2)DE＝(AB－AC)．
图K－29－15
转化思想如图K－29－16，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为________．
图K－29－16
7
详解详析
[课堂达标]
1．A [解析] 由D，E分别是边AB，AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据中位线性质可知，DE＝BC＝2.5.
2．C
3．C [解析] 因为△ABC是等边三角形，所以AB＝CB＝AC.又因为E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，所以可得BE＝FC＝5米，BC＝10米，所以四边形BCFE的周长是25米．
4．A [解析] ∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2.∵D，E分别是直角边BC，AC的中点，∴DE是△ACB的中位线，
∴DE＝AB＝1.故选A.
5．B [解析] ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以O为AC的中点．又因为E是AB的中点，所以EO是△ABC的中位线，AE＝AB，所以EO＝BC.因为AE＋EO＝4，所以AB＋BC＝2(AE＋EO)＝8.因为▱ABCD中AD＝BC，AB＝CD，所以▱ABCD周长为2(AB＋BC)＝16.
6．D [解析] ∵BD＝4，CD＝3，BD⊥CD，∴BC＝5.∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝BC.同理HG＝BC，EH＝AD，HG＝AD，∴四边形EFGH的周长＝EF＋HG＋EH＋FG＝BC＋BC＋AD＋AD＝BC＋AD＝5＋6＝11.故选D.
7．B
8．C [解析] 等边三角形A1B1C1的面积是，第二个等边三角形的面积是前一个等边三角形面积的四分之一，第八个等边三角形A8B8C8的面积是第一个等边三角形面积的.
9．2 [解析] 根据三角形中位线定理得AD＝2EF＝2.又因为AD＝BD，所以BD＝2.
10．100 [解析] ∵A，B分别是MC，NC的中点，∴AB是△MNC的中位线，∴AB＝MN，∴AB＝100 m.
11．26
12．5
13．110 [解析] 根据E，F分别是AB，BC的中点，可知EF是△ABC的中位线．根据中位线的性质可知EF∥AC，这样可得∠CAB＝∠1＝35°.再根据CD∥AB，可得∠DCA＝∠CAB＝35°.由此可求得∠D的度数为110°.
14．18 [解析]
7
连接CF.
∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF∥BC，
∴S△EFC＝S△EFD＝4.5.
∵AE＝EC，
∴S△ACF＝2S△EFC＝9.
∵AF＝FB，
∴S△ABC＝2S△ACF＝18.
故答案为18.
15．证明：连接DF，EF.
因为DE是△ABC的中位线，
AF是BC边上的中线，
所以DF∥AC，EF∥AB，
所以四边形ADFE是平行四边形，
所以DE与AF互相平分．
16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点．
∵E是边CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥BC且OE＝BC.
又∵CF＝BC，
∴OE＝CF.
又∵点F在BC的延长线上，
∴OE∥CF，
∴四边形OCFE是平行四边形．
17．证明：(1)如图，延长CD交AB于点F.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD.
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°.
在△ADC和△ADF中，
∵
∴△ADC≌△ADF(ASA)，
∴CD＝DF，AC＝AF.
又∵E是BC的中点，
7
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥AB.
(2)由(1)知DE是△BCF的中位线，
∴DE＝BF.
∵BF＝AB－AF＝AB－AC，
∴DE＝(AB－AC)．
[素养提升]
3 [解析] 连接DN，因为E，F分别为DM，MN的中点，所以EF＝DN，所以求EF长度的最大值就是求DN长度的最大值，要使DN最长，只要点N和点B重合即可，此时DN＝6.所以EF长度的最大值是3.
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