课时作业(三十四)
[22.6 正方形]
一、选择题
1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A. 一组邻边相等，对角线互相垂直平分
B. 一组邻角相等，对角线也相等
C. 一组对边平行且相等，对角线互相平分
D. 对角线相等，且互相垂直平分
2．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )
A．8 B．4 C．8 D．16
3．2017·唐山路南期中一个平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，则该四边形是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．无法确定
4．2017·涿州实验中学期中下列条件能使菱形ABCD为正方形的是( )
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；
④AC＝BD.
A．①② B．②③
C．②④ D．①②③
5．如图K－34－1，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为( )
图K－34－1
A．(－，1) B．(－1，)
C．(，1) D．(－，－1)
6．如图K－34－2，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分(四边形EMCN)的面积为( )
图K－34－2
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
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7．如图K－34－3，正方形ABCD的对角线BD的长为2 ，若直线l满足：
图K－34－3
①点D到直线l的距离为；
②A，C两点到直线l的距离相等．
则符合题意的直线l的条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图K－34－4，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( )
图K－34－4
A．45° B．55°
C．60° D．75°
9．如图K－34－5，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m，n，那么△AEG的面积的值( )
图K－34－5
A．与m，n的大小都有关
B．与m，n的大小都无关
C．只与m的大小有关
D．只与n的大小有关
二、填空题
10．如图K－34－6，在正方形ABCD中，F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED＝________°.
图K－34－6
11．已知正方形ABCD的边长为2 cm，以CD为边作等边三角形CDE，则△ABE的面积为________ cm2.
12．如图K－34－7，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是________(填序号)．
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图K－34－7
①BC＝AC；②CF⊥BF；③BD＝DF；④AC＝BF.
13．如图K－34－8，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．
图K－34－8
三、解答题
14．如图K－34－9，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF.
求证：CE＝DF.
图K－34－9
15．如图K－34－10，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP，DP，延长BC到点E，使PB＝PE.
求证：∠PDC＝∠PEC.
图K－34－10
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16．如图K－34－11，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形.
图K－34－11
归纳思想(1)如图K－34－12①，两个正方形的边长均为3，求△DBF的面积；
(2)如图②，正方形ABCD的边长为3，正方形CEFG的边长为1，求△DBF的面积；
(3)如图③，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，求△DBF的面积．
通过以上计算你能得出什么结论？
图K－34－12
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详解详析
[课堂达标]
1．C [解析] 从角、边、对角线三个方面把握各图形的性质，比较解答. A项，只有正方形和菱形具有．B项，只有矩形和正方形具有．D项，只有正方形具有．矩形、菱形、正方形都具有的性质是一组对边平行且相等，对角线互相平分. 故选C.
2．A
3．C
4．C [解析] ∵四边形ABCD是菱形，∴当∠BAD＝90°时，菱形ABCD是正方形．故②正确；∵四边形ABCD是菱形，∴当AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故④正确．故选C.
5．A 6.D
7．B 8.C
9．D [解析] S△AEG＝S正方形ABCD＋S正方形CEFG－S△ABE－S△EFG－S△ADG
＝m2＋n2－m(m＋n)－n2－m(m－n)
＝m2＋n2－m2－mn－n2－m2＋mn
＝n2，
所以△AEG的面积的值与n的大小有关．故应选D.
10．65 [解析] 在正方形ABCD中，∠DCE＝∠BCE＝45°，CB＝CD.
∵在△CDE和△CBE中，
∴∠CDE＝∠CBF＝20°.
∵∠AED是△DCE的外角，
∴∠AED＝∠DCE＋∠DCE＝65°.
11．(2＋)或(2－)
12．①②③ [解析] ∵EF垂直平分BC，
∴BE＝EC，BF＝CF.
∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
当①BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，
∴∠EBC＝45°，
∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
故选项①正确；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项②正确；
当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项③正确；
当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项④错误．
故答案为①②③.
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13．3 [解析] 如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.
∵DE⊥BC，DP⊥AB，
∴∠E＝∠DPB＝90°.
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴四边形DPBE是矩形．
∵∠CDE＋∠CDP＝90°，
∠ADP＋∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE.
∵DP⊥AB，
∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°.
在△ADP和△CDE中，
∵
∴△ADP≌△CDE(AAS)，
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP＝＝3 .
14．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°.
又∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝CF，∴△CEB≌△DFC，
∴CE＝DF.
15．证明：在正方形ABCD中，BC＝CD，∠BCP＝∠DCP.
在△BCP和△DCP中，
∵
∴△BCP≌△DCP(SAS)，
∴∠PBC＝∠PDC.
∵PB＝PE，
∴∠PBC＝∠PEC，∴∠PDC＝∠PEC.
16．证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵BA＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB＝∠CDB.
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°.
又∵∠ADC＝90°，
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∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN，
∴四边形MPND是正方形．
[素养提升]
[解析] (1)三角形的面积为×底×高，由图可知△DBF的底和高都是3.
(3)△DBF的面积等于两个正方形的面积减去△ABD，△BEF，△GDF的面积．
解：(1)△DBF的面积＝×3×3＝.
(2)将图形补成矩形ABEM，△DBF的面积为矩形ABEM的面积减去△ABD，△BEF，△DMF的面积．
△DBF的面积＝32＋3×1－×3×3－×(3＋1)×1－×2×1＝.
(3)△DBF的面积＝a2＋b2－·a·a－(a＋b)·b－(b－a)·b＝.
结论：△DBF的面积的大小只与左边正方形的边长有关，与右边正方形的边长无关．
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